19．（本小题满分 13 分）
如图，在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，
$A B / / D C, A A_{1}=1, A B=3 k, A D=4 k, B C=5 k, D C=6 k,(k>0)$
（1）求证：$C D \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$
（2）若直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$，求 $k$ 的值
（3）现将与四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f(k)$，写出 $f(k)$ 的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）
参考答案I）取 $C D$ 中点 $E$，连接 $B E$ $\because A B / / D E, \quad A B=D E=3 k$ ∴ 四边形 $A B E D$ 为平行四边形 $\therefore B E / / A D$ 且 $B E=A D=4 k$ 在 $\triangle B C E$ 中，$\because B E=4 k, C E=3 k, B C=5 k$  $\therefore B E^{2}+C E^{2}=B C^{2}$ $\therefore \angle B E C=90^{\circ}$，即 $B E \perp C D$, 又 $\because B E / / A D$，所以 $C D \perp A D$ $\because A A_{1} \perp$ 平面 $A B C D, C D \subset$ 平面 $A B C D$ $\therefore A A_{1} \perp C D$，又 $A A_{1} \cap A D=A$， $\therefore C D \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ （II）以 $D$ 为原点，$\quad D A, D C, D D_{1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 $A(4 k, 0,0), \quad C(0,6 k, 0), \quad B_{1}(4 k, 3 k, 1), \quad A_{1}(4 k, 0,1)$ 所以 $\overrightarrow{A C}=(-4 k, 6 k, 0), \overrightarrow{A B_{1}}=(0,3 k, 1), \overrightarrow{A A_{1}}=(0,0,1)$ 设平面 $A B_{1} C$ 的法向量 $n=(x, y, z)$，则由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A C} \cdot n=0 \\ \overrightarrow{A B_{1}} \cdot n=0\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}-4 k x+6 k y=0 \\ 3 k y+z=0\end{array}\right.$ 取 $y=2$，得 $n=(3,2,-6 k)$ 设 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta=\cos \left\langle\overrightarrow{A A_{1}}, n\right\rangle\left|=\left|\frac{\overrightarrow{A A_{1}}, n}{\left|\overrightarrow{A A_{1}}\right| \cdot|n|}\right|\right.$ $=\frac{6 k}{\sqrt{36 k^{2}+13}}=\frac{6}{7}$，解得 $k=1$．故所求 $k$ 的值为 1 （III）共有 4 种不同的方案 $$ f(k)=\left\{\begin{array}{c} 72 k^{2}+26 k, 0<k \leq \frac{5}{18} \\ 36 k^{2}+36 k, k>\frac{5}{18} \end{array}\right. $$
