19．（本小题满分 13 分）
如图，在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，
$A B / / D C, A A_{1}=1, A B=3 k, A D=4 k, B C=5 k, D C=6 k,(k>0)$
（1）求证：$C D \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$
（2）若直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$，求 $k$ 的值
（3）现将与四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f(k)$，写出 $f(k)$ 的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）
参考答案I）取 $C D$ 中点 $E$，连接 $B E$ $\because A B / / D E, \quad A B=D E=3 k$ ∴ 四边形 $A B E D$ 为平行四边形 $\therefore B E / / A D$ 且 $B E=A D=4 k$ 在 $\triangle B C E$ 中，$\because B E=4 k, C E=3 k, B C=5 k$ ![](https://cdn.mathpix.com/c