（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 设函数…——2014 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（I）$M=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\right.\right\}$ ；（II）详见解析．

## 【解析】

试题分析：（I）不等式 $f(x) \leq 1$ 变形为 $2|x-1|+x-1 \leq 1$ ，筸分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集 $M=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\right.\right\}$ ；（II）解不等式 $g(x) \leq 4$ ，徏 $N=\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}\right.\right\}$ ．故 $M \cap N=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{3}{4}\right.\right\}$ ．当 $x \in M \cap N$ 时， $0 \leq x \leq \frac{3}{4}$ ，此时 $f(x)=1-x$ 。代入 $x^{2} f(x)+x[f(x)]^{2}$ 中为二次函数，求其最大值即可。
试题解析：（I）$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x-3, x \in[1,+\infty), \\ 1-x, x \in(-\infty, 1),\end{array}\right.$ 当 $x \geq 1$ 时，由 $f(x)=-3 x-3 \leq 1$ 得 $x \leq \frac{4}{3}$ ．故 $1 \leq x \leq \frac{4}{3}$ ；当 $x<1$时，

由 $f(x)=1-x \leq 1$ 得 $x \geq 0$ ，故 $0 \leq x<1$ ．所以 $f(x) \leq 1$ 的解集为 $M=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\right.\right\}$ ．
（II）由 $g(x)=16 x^{2}-8 x+1 \leq 4$ 得 $-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4} . N=\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}\right.\right\}$ ，故 $M \cap N=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{3}{4}\right.\right\}$ ．
当 $x \in M \cap N$ 时，$f(x)=1-x$ ，故 $x^{2} f(x)+x[f(x)]^{2}=x f(x)[x+f(x)]=x f(x)=x(1-x)=\frac{1}{4}- \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq \frac{1}{4}$.
【考点定位】1、绝对值不等式解法；2、二次函数最值．