24．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
设函数 $f(x)=2|x-1|+x-1, g(x)=16 x^{2}-8 x+1$ ，记 $f(x) \leq 1$ 的解集为 $\mathrm{M}, g(x) \leq 4$ 的解集为 N ．
（I）求 M ；
（II）当 $x \in M \cap N$ 时，证明：$x^{2} f(x)+x[f(x)]^{2} \leq \frac{1}{4}$ ．
参考答案（I）$M=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\right.\right\}$ ；（II）详见解析．