已知 5^ 5 <8^ 4 , 13^ 4 <8^ 5 ．…——2020 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得 $a , b , c \in(0,1)$ ，利用作商法以及基本不等式可得出 $a , b$ 的大小关系，由 $b=\log _{8} 5$ ，得 $8^{b}=5$ ，结合 $5^{5}<8^{4}$ 可得出 $b<\frac{4}{5}$ ，由 $c=\log _{13} 8$ ，得 $13^{c}=8$ ，结合 $13^{4}<8^{5}$ ，可得出 $c>\frac{4}{5}$ ，综合可得出 $a , b , c$ 的大小关系．

【详解】由题意可知 $a , b , c \in(0,1)$ ，
$\frac{a}{b}=\frac{\log _{5} 3}{\log _{8} 5}=\frac{\lg 3}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 8}{\lg 5}<\frac{1}{(\lg 5)^{2}} \cdot\left(\frac{\lg 3+\lg 8}{2}\right)^{2}=\left(\frac{\lg 3+\lg 8}{2 \lg 5}\right)^{2}=\left(\frac{\lg 24}{\lg 25}\right)^{2}<1, \quad \therefore a由 $b=\log _{8} 5$ ，得 $8^{b}=5$ ，由 $5^{5}<8^{4}$ ，得 $8^{5 b}<8^{4}, \therefore 5 b<4$ ，可得 $b<\frac{4}{5}$ ；

由 $c=\log _{13} 8$ ，得 $13^{c}=8$ ，由 $13^{4}<8^{5}$ ，得 $13^{4}<13^{5 c}, \therefore 5 c>4$ ，可得 $c>\frac{4}{5}$ ．
综上所述，$a故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题．