2014_退役省自主命题 (2014·文)
23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C ．
（ I ）写出 C 的参数方程；
（II）设直线 $l: 2 x+y-2=0$ 与 C 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程．
【答案】（I）$\left\{\begin{array}{l}x=\cos t, \\ y=2 \sin t,\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），（II）$\rho=\frac{3}{4 \sin \theta-2 \cos \theta}$
## 【解析】
试题分析：（I）由平面直角坐标系中的1由缩变换得变换前后对应的坐标关系。即 $\left\{\begin{array}{l}x=x_{1} \\ y=2 y_{1}\end{array}\right.$ ，反解 $x_{1}, y_{1}$ 并代入圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 中，得曲线 C 的普通方程．浩而出参数方程；（II）将直线 $2 x+y-2=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 联立，求的交点 $P_{1}, P_{2}$ 的坐标，从而可确定与諈直的直线方程 $y-1=\frac{1}{2}\left(\mathrm{x}-\frac{1}{2}\right)$ 。再利用 $\left\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta, \\ y=\rho \sin \theta,\end{array}\right.$ 化直线的直角坐标方程为机企标方程．
试题解析：（I）设 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 为圆上的点，经变换为 $C$ 上点（ $\mathrm{x} . \mathrm{y}$ ）．依题意，得 $\left\{\begin{array}{l}x=x_{1}, \\ y=2 y_{1},\end{array}\right.$ 由 $x_{1}{ }^{2}+y_{1}{ }^{2}=1$ 得 $x^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1$.
即曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．故 C 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t, \\ y=2 \sin t,\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）．
（II）由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1, \\ 2 x+y-2=0,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=0,\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=2,\end{array}\right.$ 不妨设 $P_{1}(1,0), P_{2}(0,2)$ ．则线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ．所求直线的斜率为 $k=\frac{1}{2}$ ．于是所求直线一方程为 $y-1=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)$ ．化为极坐标方程为 $2 \rho \cos \theta-4 \rho \sin \theta =-3$ ，即 $\rho=\frac{3}{4 \sin \theta-2 \cos \theta}$ ．
【考点定位】1、伸缩变换； 2 、曲线的态数方程； 2 、曲线的权坐标方程．