2014_退役省自主命题 (2014·文)
19．（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1} \perp B C, A_{1} B \perp B B_{1}$ ．
（1）求证：$A_{1} C_{1} \perp C C_{1}$ ；
（2）若 $A B=2, A C=\sqrt{3}, B C=\sqrt{7}$ ，问 $A A_{1}$ 为何值时，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积最大，并求此最大值。
【答案】（1）详见解析，②$A A_{1}=\frac{\sqrt{42}}{7}$ 时，体积 $V$ 取到最大值 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ ．
## 【解析】
试题分析：（1）证明线线垂直，一般利月线面垂直泤定及性斦正理进行多次转化证明．由 $A A_{1} \perp B C$ 知 $B B_{1} \perp B C$ ，又 $B B_{1} \perp A B$ ，故 $B B_{1} \perp$ 平面 $E C A_{1}$ ，即 $B B_{1} \perp A C$ ，又 $B B_{1} / / C C_{1}$ ，所以 $A C \perp C C_{1}$ ．（2）研究三棱柱体积，关键明确底面上的高，本题由（1）知：$B B_{1} \perp$ 平面 $B C A_{1}$ ，因此将三棱柱体积转化为等高同底的三棱锥 $B-A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积（三倍关系），而三棱错 $B-A_{1} B_{1} C$ 什积又等于三棱锥 $B-A_{1} B_{1} C$ 体积，三棱锥 $B-A_{1} B_{1} C$ 体积等于 $\frac{1}{3} B B_{1} \times S_{\Delta A_{1} B C}$ ，设 $A A_{1}=x$ ，不难计算 $S_{\Delta A_{1} B C}=\frac{\sqrt{12-7 x^{2}}}{2}$ ．三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V=3 \times \frac{1}{3} B B_{1} \times S_{\Delta A_{1} g c}=\frac{x \sqrt{12-7 x^{2}}}{2}$ ，故当 $x=\sqrt{\frac{6}{7}}=-\frac{\sqrt{42}}{7}$ 时，即 $A A_{1}=\frac{\sqrt{42}}{7}$ 时，体积 $V$ 取到最大值 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ ．
试题解析：
（1）证明：由 $A A_{1} \perp B C$ 知 $B B_{1} \perp B C$ ，又 $B B_{1} \perp A_{1} B$ ，故 $B B_{1} \perp$ 平面 $B C A_{1}$ ，即 $B B_{1} \perp A C$ ，又 $B B_{1} / / C C_{1}$ ，所以 $A C \perp C C_{1}$ ．（2）设 $A A_{1}=x$ ，在 Rt $\triangle A_{1} B B_{1}$ 中 $B A_{1}=\sqrt{A B_{1}^{2}-B B_{1}^{2}}=\sqrt{4-x^{2}}$ ，同理 $A C=\sqrt{A_{1} C_{1}^{2}-C C_{1}^{2}}=\sqrt{3-x^{2}}$ ，在 $\triangle A_{1} B C$ 中， $\cos \angle B A A_{1} C=\frac{A_{1} B^{2}+A_{1} C^{2}-B C^{2}}{2 A_{1} B \cdot A_{1} C}=\cdots \frac{x^{2}}{\sqrt{\left(4-x^{2}\right)\left(3-x^{2}\right)}} \cdot \sin \angle B A_{1} C=\sqrt{\frac{12-7 x^{2}}{\left(4-x^{2}\right)\left(3-x^{2}\right)}}$ ，所以
$S_{\Delta A_{1} B C}=\frac{1}{2} A B \cdot A_{1} C \sin \angle B A C=\frac{\sqrt{12-7 x^{2}}}{2}$ ，从而三棱持 $A C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为
$V=3 \times \frac{1}{3} B B_{1} \times S_{\Delta A_{1} g c}=\frac{x \sqrt{12-7 x^{2}}}{2}$ 因 $x \sqrt{12-7 x^{2}}=\sqrt{12 x^{2}}-\overline{7 x^{4}}=\sqrt{-7\left(x^{2}-\frac{6}{7}\right)^{2}+\frac{36}{7}}$ ，故当 $x=\sqrt{\frac{6}{7}}=\frac{\sqrt{42}}{7}$ 时，即 $A A_{1}=\frac{\sqrt{42}}{7}$ 时，体积 $V$ 取到最大值 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ ．
考点：线面垂直判定与性质定理，三棱柱的体积