一个箱子里有5个球，分别以1～5标号，若有放回取三次，记至…——2025 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{61}{25}$

$$ \begin{aligned} & X=1,2,3, \quad P(X=1)=\left(\frac{1}{5}\right)^{3} \times 5=\frac{1}{25}, \\ & P(X=2)=C_{3}^{2}\left(\frac{1}{5}\right)^{2} \times \frac{1}{5} \times 2 \cdot C_{5}^{2}=\frac{12}{25}, \quad P(X=3)=\left(\frac{1}{5}\right)^{3} \times 6 \times C_{5}^{3}=\frac{12}{25} \\ & \therefore E(X)=\frac{1}{25}+\frac{24}{25}+\frac{36}{25}=\frac{61}{25} . \end{aligned} $$

点评：第一问就劝退了一批学生，要放开胆量求导，然后求极值点分析单调性．第二问，有很多学生题目都读不懂，它属于探究和理解型及构造类的问题，本题关键是关于 a 的范围的约束，根据周期性可以将 a 限制在 $[0,2 \pi)$ 进行分析，结合 $\cos x$ 的单调性进行处理就可以了。第三问逻辑词扎堆，属于存在任意型双逻辑问题，逻辑词处理遵循就近原则，本质上是求左边函数最大值的最小值，最自然的方法就是借助第二问的结论，先探出 $\mathbf{b}$ 的最小值。然后结合第二问的结论，对于 $\mathrm{b}<3$ 根号 3，总能找到这样的反例，使左边函数＞3倍根号3了，这样就导出矛盾了，也是构造类的典范，硬怼当然也可以．