（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)= x e^ 2…——2013 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（13分）（2013．山东）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}}+\mathrm{c}(\mathrm{e}=2.71828 \cdots, c \in \mathrm{R})$ ．
①求 $f(x)$ 的单调区间及最大值；
②讨论关于 $x$ 的方程 $|\ln x|=f(x)$ 根的个数。

考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
专题：压轴题；导数的综合应用。

分析：①利用导数的运算法则求出 $f^{\prime}(x)$ ，分别解出 $f^{\prime}(x)>0$ 与 $f^{\prime}(x)<0$ 即可得出单调区间及极值与最值；
②分类讨论：①当 $0解答：
解：（1）$\because f^{\prime}(x)=\frac{e^{2 x}-x \cdot 2 e^{2 x}}{\left(e^{2 x}\right)^{2}}=\frac{1-2 x}{e^{2 x}}$ ，解 $f^{\prime}(x)>0$ ，得 $x<\frac{1}{2}$ ；解 $f^{\prime}(x)<0$ ，得 $x>\frac{1}{2}$ ．
∴ 函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ ；单调递减区间为 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．
故 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 取得最大值，且 $f(x)_{\text {max }}=\frac{1}{2 e}+c$ ．
（2）函数 $\mathrm{y}=||\mathrm{nx}|$ ，当 $\mathrm{x}>0$ 时的值域为 $[0,+\infty)$ 。如图所示：
（1）当 $0$c=-\ln x-\frac{x}{e^{2 x}}=g(x)$,
则 $g^{\prime}(x)=-\frac{1}{x}-\frac{1-2 x}{e^{2 x}}=-\frac{e^{2 x}+x-2 x^{2}}{x e^{2 x}}$ ．
令 $h(x)=e^{2 x}+x-2 x^{2}$ ，则 $h^{\prime}(x)=2 e^{2 x}+1-4 x>0, \quad \therefore h(x)$ 在 $x \in(0,1]$ 单调递增，
$\therefore 1=h(0)$\therefore g^{\prime}(x)<0, \quad \therefore g(x)$ 在 $x \in(0,1]$ 单调递减．
$\therefore c \geqslant g(1)=-\frac{1}{e^{2}}$.
（2）当 $x \geqslant 1$ 时，令 $v(x)=\ln x-\frac{x}{e^{2 x}}-c$ ，得到 $c=\ln x-\frac{x}{e^{2 x}}=m(x)$ ，
则 $m^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1-2 x}{e^{2 x}}=\frac{e^{2 x}+x(2 x-1)}{x e^{2 x}}>0$ ，
故 $m(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，$\therefore c \geqslant m(1)=-\frac{1}{e^{2}}$ ．
综上①②可知：当 $c<-\frac{1}{e^{2}}$ 时，方程 $|\ln x|=f(x)$ 无实数根；
当 $c=-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}$ 时，方程 $|\ln x|=f(x)$ 有一个实数根；
当 $c>-\frac{1}{e^{2}}$ 时，方程 $|\ln x|=f(x)$ 有两个实数根。

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法。