2019_浙江卷 (2019)
22．已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f(x)=a \ln x+\sqrt{x+1}, x>0$ ．
（1）当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）对任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}},+\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，求 $a$ 的取值范围．
注： $\mathrm{e}=2.71828 \ldots$ 为自然对数的底数．
【答案】①$f(x)$ 的单调递增区间是 $(3,+\infty)$ ，单调递减区间是 $(0,3)$ ；② $0 ## 【解析】 ## 【分析】 （1）首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可． $f^{\prime}(x)=-\frac{3}{4 x}+\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}=\frac{-3 \sqrt{x+1}+2 x}{4 x \sqrt{x+1}}=\frac{(x-3)(4 x+3)}{4 x \sqrt{x+1}(3 \sqrt{x+1}+2 x)}$, 易知 $\varphi^{\prime}(x) \leq 0$ ，则函数 $\varphi(x)$ 单调递减，$g(x) \leq \varphi(x) \leq \varphi(1)=0$ ，满足题意． 左侧是关于 $a$ 的开口向下的二次函数 $\mu(a)$ ，
（2）由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 $a$ 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可。
【详解】①当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，$f(x)=-\frac{3}{4} \ln x+\sqrt{x+1}$ ，函数的定义域为 $(0,+\infty)$ ，且：
因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(3,+\infty)$ ，单调递减区间是 $(0,3)$ ．
（2）构造函数 $g(x)=a \ln x+\sqrt{1+x}-\frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，
注意到：$g\left(\frac{1}{e^{2}}\right)=-2 a-\frac{1}{2 a e}+\sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}}, 0$ ，
注意到 $a>0$ 时 $2 a+\frac{1}{2 a e} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{e}}>\sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}}$ 恒成立，满足 $g\left(\frac{1}{e^{2}}\right)=-2 a-\frac{1}{2 a e}+\sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}}, 0$ ；
当 $a<0$ 时，$g\left(\frac{1}{e^{2}}\right)=-2 a-\frac{1}{2 a e}+\sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}}>0$ ，不合题意，
且 $g(1)=\sqrt{2}-\frac{1}{2 a} \leq 0$ ，解得：$a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，故 $0下面证明 $0分类讨论：
（a）当 $x \geq 1$ 时，$g(x)=a \ln x+\sqrt{1+x}-\frac{\sqrt{x}}{2 a} \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \ln x+\sqrt{1+x}-\sqrt{2 x}$ ，
令 $\varphi(x)=\frac{\sqrt{2}}{4} \ln x+\sqrt{1+x}-\sqrt{2 x}$ ，则：
$\varphi^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{2} x}+\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{2 x}}$
$=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{2} x-2 \sqrt{x(1+x)}}{2 \sqrt{2} x \sqrt{1+x}}$
$=\frac{2 \sqrt{2} x \sqrt{1+x}-\left(2 x^{2}+3 x-1\right)}{2 \sqrt{2} x \sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{2} x+2 \sqrt{x(1+x)})}$
$=\frac{(1-x)\left(4 x^{3}+8 x^{2}+5 x-1\right)}{2 \sqrt{2} x \sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{2} x+2 \sqrt{x(1+x)})\left(2 \sqrt{2} x \sqrt{1+x}+\left(2 x^{2}+3 x-1\right)\right)}$ ，
（b）当 $\frac{1}{e^{2}} \leq x<1$ 时，$g(x) \leq 0$ 等价于 $a^{2} \ln x+\sqrt{x+1} \cdot a-\frac{1}{2} \sqrt{x} \leq 0$ ，
其判别式 $\Delta(x)=1+x+2 \sqrt{x} \ln x=\sqrt{x}\left(4 \ln \sqrt{x}+\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ ，
令 $t=\sqrt{x}$ ，注意到当 $t>\frac{1}{e}$ 时，$\left(4 \ln t+t+\frac{1}{t}\right)^{\prime}=\frac{t^{2}+4 t-1}{t^{2}}>0$ ，
于是 $\Delta(x)$ 在 $x \in\left[\frac{1}{e^{2}}, 1\right)$ 上单调递增，而 $\Delta\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{4}-2 \ln 2<0$ ，
于是当 $x \in\left[\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{4}\right]$ 时命题成立，
而当 $x \in\left(\frac{1}{4}, 1\right)$ 时，此时 $\mu(a)$ 的对称轴为 $a=\frac{\sqrt{x+1}}{-2 \ln x}$ 随着 $x$ 递增，
于是对称轴在 $a=\frac{\sqrt{5}}{8 \ln 2}$ 的右侧，而 $\frac{\sqrt{5}}{8 \ln 2}>\frac{\sqrt{2}}{4}$ 成立，（不等式等价于 $\ln 2<\sqrt{\frac{5}{8}}$ ）．
因此 $\mu(a)