如图，在三棱锥 A-B C D 中，平面 A B D 平面…——2021 高考数学第 20 题答案解析

（1）因为 $AB=AD$，且 $O$ 为 $BD$ 的中点，所以 $AO \perp BD$．
又因为平面 $ABD \perp$ 平面 $BCD$，平面 $ABD \cap$ 平面 $BCD = BD$，且 $AO \subset$ 平面 $ABD$，
根据面面垂直的性质定理，可得 $AO \perp$ 平面 $BCD$．
因为 $CD \subset$ 平面 $BCD$，所以 $AO \perp CD$．

（2）过点 $E$ 作 $EF \perp BD$ 于点 $F$，过点 $F$ 作 $FM \perp BC$ 于点 $M$，连接 $EM$．
由（1）知 $AO \perp$ 平面 $BCD$，又 $EF \parallel AO$（因为 $EF \perp BD, AO \perp BD$ 且都在平面 $ABD$ 内），
所以 $EF \perp$ 平面 $BCD$．
因为 $BC \subset$ 平面 $BCD$，所以 $EF \perp BC$．
又因为 $FM \perp BC$，且 $EF \cap FM = F$，
所以 $BC \perp$ 平面 $EFM$，进而 $BC \perp EM$．
故 $\angle EMF$ 即为二面角 $E-BC-D$ 的平面角，由题意知 $\angle EMF = 45^{\circ}$．
在 Rt$\triangle EFM$ 中，$\tan \angle EMF = \frac{EF}{FM} = 1$，即 $EF = FM$．

因为 $\triangle OCD$ 是边长为 1 的等边三角形，$O$ 为 $BD$ 中点，
所以 $OD=OC=CD=1$，$BO=OD=1$，即 $BD=2$．
在 $\triangle BCD$ 中，$CO$ 是中线且 $CO = \frac{1}{2}BD = 1$，所以 $\triangle BCD$ 为直角三角形，且 $\angle BCD = 90^{\circ}$．
或者计算角度：在等边 $\triangle OCD$ 中，$\angle ODC = 60^{\circ}$．
在 $\triangle BCD$ 中，$BD=2, CD=1, \angle BDC = 60^{\circ}$，
由余弦定理 $BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 BD \cdot CD \cos 60^{\circ} = 4 + 1 - 2 \times 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 3$，
所以 $BC = \sqrt{3}$．
因为 $BC^2 + CD^2 = 3 + 1 = 4 = BD^2$，所以 $BC \perp CD$．

因为 $EF \perp$ 平面 $BCD$，$AO \perp$ 平面 $BCD$，所以 $EF \parallel AO$．
在 $\triangle AOD$ 中，$DE = 2EA$，即 $\frac{DE}{DA} = \frac{2}{3}$，
所以 $\frac{EF}{AO} = \frac{DF}{DO} = \frac{DE}{DA} = \frac{2}{3}$．
设 $AO = h$，则 $EF = \frac{2}{3}h$，$DF = \frac{2}{3} OD = \frac{2}{3}$．
所以 $BF = BD - DF = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$．

接下来求 $FM$ 的长度．
在 Rt$\triangle BCD$ 中，$\sin \angle DBC = \frac{CD}{BD} = \frac{1}{2}$，即 $\angle DBC = 30^{\circ}$．
在 Rt$\triangle BFM$ 中，$FM = BF \sin \angle DBC = \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$．

由 $EF = FM$，得 $\frac{2}{3}h = \frac{2}{3}$，解得 $h = 1$，即 $AO = 1$．

三棱锥 $A-BCD$ 的体积：
底面 $\triangle BCD$ 的面积 $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot CD = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$．
高 $AO = 1$．
所以 $V_{A-BCD} = \frac{1}{3} S_{\triangle BCD} \cdot AO = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{6}$．