2021_新课标 I 卷 (2021)
20．如图，在三棱锥 $A-B C D$ 中，平面 $A B D \perp$ 平面 $B C D, A B=A D, O$ 为 $B D$ 的中点．
（1）证明：$O A \perp C D$ ；
（2）若 $\triangle O C D$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上，$D E=2 E A$ ，且二面角 $E-B C-D$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求三棱锥 $A-B C D$ 的体积．
【答案】（1）详见解析②$\frac{\sqrt{3}}{6}$
## 【解析】
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得 $\mathrm{AO} \perp$ 平面 BCD ，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果．
【详解】（1）因为 $A B=A D, O$ 为 $B D$ 中点，所以 $A O \perp B D$
因为平面 $\mathrm{ABD} \cap$ 平面 $\mathrm{BCD}=B D$ ，平面 $\mathrm{ABD} \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}, A O \subset$ 平面 ABD ，
因此 $\mathrm{AO} \perp$ 平面 BCD ，
因为 $C D \subset$ 平面 BCD ，所以 $\mathrm{AO} \perp \mathrm{CD}$
（2）作 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{BD}$ 于 F ，作 $\mathrm{FM} \perp \mathrm{BC}$ 于 M ，连 FM
因为 $\mathrm{AO} \perp$ 平面 BCD ，所以 $\mathrm{AO} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{AO} \perp \mathrm{CD}$
所以 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{BD}, \mathrm{EF} \perp \mathrm{CD}, ~ B D \cap C D=D$ ，因此 $\mathrm{EF} \perp$ 平面 BCD ，即 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{BC}$
因为 $\mathrm{FM} \perp \mathrm{BC}, F M I E F=F$ ，所以 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 EFM ，即 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{MF}$
则 $\angle E M F$ 为二面角 $\mathrm{E}-\mathrm{BC}-\mathrm{D}$ 的平面角，$\angle E M F=\frac{\pi}{4}$
因为 $B O=O D, ~ \triangle O C D$ 为正三角形，所以 $\triangle O C D$ 为直角三角形
因为 $B E=2 E D, \therefore F M=\frac{1}{2} B F=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$
从而 $\mathrm{EF}=\mathrm{FM}=\frac{2}{3} \therefore A O=1$
$\mathrm{Q} A O \perp$ 平面 BCD ，
所以 $V=\frac{1}{3} A O \cdot S_{\triangle B C D}=\frac{1}{3} \times 1 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法．