在正三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1 中，…——2021 高考数学第 12 题答案解析

【答案】BD

## 【解析】

【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；
对于 B ，将 $P$ 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于 C ，考虑借助向量的平移将 $P$ 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 $P$ 点的个数；
对于 D ，考虑借助向量的平移将 $P$ 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 $P$ 点的个数。

【详解】

易知，点 $P$ 在矩形 $B C C_{1} B_{1}$ 内部（含边界）．

对于 A ，当 $\lambda=1$ 时， $\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}=\overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{C C_{1}}$ ，即此时 $P \in$ 线段 $C C_{1}, \triangle A B_{1} P$ 周长不是定值，故 A错误；

对于 B ，当 $\mu=1$ 时， $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B B_{1}}=\overrightarrow{B B_{1}}+\lambda \overrightarrow{B_{1} C_{1}}$ ，故此时 $P$ 点轨迹为线段 $B_{1} C_{1}$ ，而 $B_{1} C_{1} / / B C$ ， $B_{1} C_{1} / /$ 平面 $A_{1} B C$ ，则有 $P$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确．

对于 C ，当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时， $\overrightarrow{B P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$ ，取 $B C, B_{1} C_{1}$ 中点分别为 $Q, H$ ，则 $\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B Q}+\mu \overrightarrow{Q H}$ ，所以 $P$ 点轨迹为线段 $Q H$ ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，$A_{1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0,1\right), P(0,0, \mu)$ ， $B\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$ ，则 $\overrightarrow{A_{1} P}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \mu-1\right), \overrightarrow{B P}=\left(0,-\frac{1}{2}, \mu\right), \mu(\mu-1)=0$ ，所以 $\mu=0$ 或 $\mu=1$ ．故 $H, Q$ 均满足，故C错误；

对于 D ，当 $\mu=\frac{1}{2}$ 时， $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B B_{1}}$ ，取 $B B_{1}, C C_{1}$ 中点为 $M, N, \overrightarrow{B P}=\overrightarrow{B M}+\lambda \overrightarrow{M N}$ ，所以 $P$ 点

轨迹为线段 $M N$ ．设 $P\left(0, y_{0}, \frac{1}{2}\right)$ ，因为 $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0,0\right)$ ，所以 $\overrightarrow{A P}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, y_{0}, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{A_{1} B}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2},-1\right)$
，所以 $\frac{3}{4}+\frac{1}{2} y_{0}-\frac{1}{2}=0 \Rightarrow y_{0}=-\frac{1}{2}$ ，此时 $P$ 与 $N$ 重合，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．