2013_退役省自主命题 (2013·理)
16．（本小题满分 12 分）
已知向量 $\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\frac{1}{2}\right), \boldsymbol{b}=(\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in \boldsymbol{R}$，设函数 $f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期．
（II）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．
：$f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{3} \sin x \cos x-\frac{1}{2} \cos 2 x$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】：$f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{3} \sin x \cos x-\frac{1}{2} \cos 2 x$
$$ \begin{aligned} & =\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\frac{1}{2} \cos 2 x \\ & =\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right) \end{aligned} $$
（I）$f(x)$ 的最小正周期为 $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{2}=\pi$。
（II）$\because x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \quad \therefore 2 x-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right], \quad \therefore \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right) \in\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$
故当 $2 x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ 即 $x=\frac{\pi}{3}$ 时，$f(x)_{\text {max }}=1$
当 $2 x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}$ 即 $x=0$ 时，$f(x)_{m i n}=-\frac{1}{2}$
【解析】：本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题．正确运用公式
若 $\bar{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \bar{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right), x \in R$，则 $\bar{a} \cdot \bar{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2} T=\left|\frac{2 \pi}{\omega}\right|$ 以及函数 $y=A \sin (\omega x+\phi)$ 图像性质的熟练运用是解答关键．本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一。
【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识。简单题．