【答案】（1）$y^{2}=\left\{\begin{array}{l}4 x(x \geq 0) \\ 0,(x<0)\end{array}\right.$ ；②当 $k \in(-\infty,-1) \cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有一个公共点；当 $k \in\left\{-1, \frac{1}{2}\right\} \cup\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$ 时，故此时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 佮有两个公共点；当 $k \in\left(-1 \frac{1}{2}\right) \cup\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时，故此时直线 $l$与轨迹 $C$ 恰有三个公共点。
【解析】
试题分析：（1）设点 $M(x, y)$ ，根据条件列出等式 $\mid M F \fallingdotseq x_{\mid}+1$ ，在用两点间的距离公式表示 $|M F|$ ，化简整理即得；②在点 $M$ 的轨迹 $C$ 中，记 $C_{1} y^{2}=4 x(x \geq 0), C_{2}: y=0(x<0)$ ，设直线 $l$ 的方程为 $y-1=k(x+2)$ ，联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y-1=k(x+2) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 整理得 $k y^{2}-4 y+4(2 k+1)=0$ ，分类讨论①$k=0$ 时；
②$\left\{\begin{array}{l}\Delta<0 \\ x_{0}<0\end{array}\right.$ ；③$\left\{\begin{array}{l}\Delta=0 \\ x_{0}<0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ x_{0} \geq 0\end{array}\right.$ ；④$\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ x_{0}<0\end{array}\right.$ ，确定直线 $l$ 与轨迹 $C$ 的公共点的个数．
试题解析：（1）设点 $M(x, y)$ ，依题意，$|M F|=|x|+1$ ，即 $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=|x|+1$ ，整理的 $y^{2}=2(|x|+x)$ ，
所以点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程为 $y^{2}=\left\{\begin{array}{l}4 x(x \geq 0) \\ o,(x<0)\end{array}\right.$ ．
（2）在点 $M$ 的轨迹 $C$ 中，记 $C_{1}: y^{2}=4 x(x \geq 0), C_{2}: y=0(x<0)$ ，
依题意，设直线 $l$ 的方程为 $y-1=k(x+2)$ ，
由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y-1=k(x+2) \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 得 $k y^{2}-4 y+4(2 k+1)=0$
当 $k=0$ 时，此时 $y=1$ ，把 $y=1$ 化入轨迹 $C^{4}$ 方程得 $x=\frac{1}{4}$ ，
所以此时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有一个公共点 $\left(\frac{1}{4}, 1\right)$ ．
当 $k \neq 0$ 时，方程（1）的判别式为 $\Delta=-16\left(2 k^{2}+k-1\right)$
设直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $\left(x_{0}, 0\right)$ ，则由 $y-1=k(x+2)$ ，令 $y=0$ ，得 $x_{0}=\frac{2 k+1}{k}$③
（i）若 $\left\{\begin{array}{l}\Delta<0 \\ x_{0}<0\end{array}\right.$ ，由②③解得 $k<-1$ 或 $k>\frac{1}{2}$ ．
即当 $k \in(-\infty,-1) \cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 时，直线 上 $C_{1}$ 没有公共点，与 $C_{2}$ 有一个公共点，故此时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有一个公共点
（ii）若 $\left\{\begin{array}{l}\Delta=0 \\ x_{0}<0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ x_{0} \geq 0\end{array}\right.$ ，牙（2）（3）解得 $k \in\left\{-1, \frac{1}{2}\right\}$ 或 $-\frac{1}{2} \leq k<0$ ，
即当 $k \in\left\{-1, \frac{1}{2}\right\}$ 时，直线 $l$ 与 $C_{1} F$ 一个共点，与 $C_{2}$ 有一个公共点．
当 $k \in\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$ 时，直线 $l$ 与 $C_{1}$ 有两个共点，与 $C_{2}$ 没有公共点．
故当 $k \in\left\{-1, \frac{1}{2}\right\} \cup\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$ 时，故此时直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰有两个公共点．
（iii）若 $\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ x_{0}<0\end{array}\right.$ ，由②③解得 $-1<k<-\frac{1}{2}$ 或 $0<k<\frac{1}{2}$ ，
即当 $k \in\left(-1 \frac{1}{2}\right) \cup\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时，直线 $l$ 与 $C_{1}$ 有两个共点，与 $C_{2}$ 有一个公共点．
故当 $k \in\left(-1 \frac{1}{2}\right) \cup\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时，故此时直线 $l$ 与轨㑊 $C$ 合有三个公共点．
综上所述，当 $k \in(-\infty,-1) \cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 财线 $l$ 与轨迹 $C$ 合有一个公共点；
当 $k \in\left\{-1, \frac{1}{2}\right\} \cup\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$ 时，故＂时直线 $l$ 上轨迹 $C$ 恰有两个公共点；
当 $k \in\left(-1 \frac{1}{2}\right) \cup\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时，故此克直线 $l$ 与 ，迹 $C$ 恰有三个公共点．
考点：两点间的距离公式，抛物线方程，直线与抛物线的位置关系．