（本小题满分 11 分） 某实验室一天的温度（单位： ^…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1） $4^{\circ} \mathrm{C}$ ；（2）在10时至18时实验室需要降温．

## 【解析】

试题分析：（1）利用两个角的和的正弦公式把 $f(t)$ 变成 $f(t)=10-2 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)$ ，根据 $0 \leq t<24$ 求出 $\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}$ 的取值范围，确定 $\sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)$ 的取值范围，从而求得 $f(t)$ 在 $[0,24)$ 上的最大值与最小值；②由题意知，解三角不等式 $10-2 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)>11$ ，得出 $t$ 的取值范围，从而得到结论．

试题解析：（1）因为 $f(t)=10-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\pi}{12} t+\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{12} t\right)=10-2 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)$ ，
又 $0 \leq t<24$ ，所以 $\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}<\frac{7 \pi}{3},-1 \leq \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right) \leq 1$ ，

当 $t=2$ 时， $\sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)=1$ ；当 $t=14$ 时， $\sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)=-1$ ；
于是 $f(t)$ 在 $[0,24)$ 上取得最大值 12 ，取得最小值 8 ．
（2）依题意，当 $f(t)>11$ 时实验室需要降温．
由（1）得 $f(t)=10-2 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)$ ，
所以 $10-2 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)>11$ ，即 $\sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}\right)<\frac{1}{2}$ ，
又 $0 \leq t<24$ ，因此 $\frac{7 \pi}{6}<\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{3}<\frac{11 \pi}{6}$ ，即 $10故在10时至18时实验室需要沙温。
考点：三角函数的实际运用，两个角的和的正弦公式，三角不等式的解法．