15．（4分）（2009•陕西）如图球 O 的半径为 2 ，圆 $\mathrm{O}_{1}$ 是一小圆， $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}=\sqrt{2}, \mathrm{A,B}$ 是圆 $\mathrm{O}_{1}$上两点，若 $A, B$ 两点间的球面距离为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\angle A O_{1} B=-\frac{\pi}{2}$－
（4分）（2009•陕西）如图球 O 的半径为 2，圆 O…——2009 高考数学第 15 题答案解析
2009_退役省自主命题 (2009·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】球面距离及相关计算；球面的三角公式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意知应先求出 AB 的长度，在直角三角形 AOB 中由余弦定理可得 $\mathrm{AB}=2$ ，由此知三角形 $\mathrm{AO}_{1} \mathrm{~B}$ 的三边长，由此可以求出 $\angle \mathrm{AO}_{1} \mathrm{~B}$ 的值．
【解答】解：由题设知 $0_{1} 0=\sqrt{2}, ~ \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$
在圆 $\mathrm{O}_{1}$ 中有 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{~A}=\mathrm{O}_{1} \mathrm{~B}=\sqrt{2}$ ，
又 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点间的球面距离为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，
由余弦定理，得： $\mathrm{AB}=2$
在三角形 $\mathrm{AO}_{1} \mathrm{~B}$ 中由勾股定理可得：$\angle \mathrm{AO}_{1} \mathrm{~B}=\frac{\pi}{2}$
故答案为 $\frac{\pi}{2}$ ．
【点评】本题的考点是球面距离及相关计算，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，属于基础题。
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