2021_新课标 II 卷 (2021)
14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ ：
（1）$f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ；
（2）当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
③$f^{\prime}(x)$ 是奇函数．
$f(x)=x^{4}$（答案不唯一，$f(x)=x^{2 n}\left(n \in N^{*}\right)$ 均满足）
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】 $f(x)=x^{4}$（答案不唯一，$f(x)=x^{2 n}\left(n \in N^{*}\right)$ 均满足）
【解析】
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 $f(x)$ ．
【详解】取 $f(x)=x^{4}$ ，则 $f\left(x_{1} x_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}\right)^{4}=x_{1}^{4} x_{2}^{4}=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ，满足①，
$f^{\prime}(x)=4 x^{3}, x>0$ 时有 $f^{\prime}(x)>0$ ，满足②，
$f^{\prime}(x)=4 x^{3}$ 的定义域为 $R$ ，
又 $f^{\prime}(-x)=-4 x^{3}=-f^{\prime}(x)$ ，故 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数，满足③．
故答案为：$f(x)=x^{4}$（答案不唯一，$f(x)=x^{2 n}\left(n \in N^{*}\right)$ 均满足）
按本题考点（幂函数）一句话出一份真题练习卷或讲义，先看题目再生成 PDF，打印出来做。