写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 f(x)…——2021 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $f(x)=x^{4}$（答案不唯一，$f(x)=x^{2 n}\left(n \in N^{*}\right)$ 均满足）

## 【解析】

【分析】根据幂函数的性质可得所求的 $f(x)$ ．
【详解】取 $f(x)=x^{4}$ ，则 $f\left(x_{1} x_{2}\right)=\left(x_{1} x_{2}\right)^{4}=x_{1}^{4} x_{2}^{4}=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ，满足①，
$f^{\prime}(x)=4 x^{3}, x>0$ 时有 $f^{\prime}(x)>0$ ，满足②，
$f^{\prime}(x)=4 x^{3}$ 的定义域为 $R$ ，
又 $f^{\prime}(-x)=-4 x^{3}=-f^{\prime}(x)$ ，故 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数，满足③．
故答案为：$f(x)=x^{4}$（答案不唯一，$f(x)=x^{2 n}\left(n \in N^{*}\right)$ 均满足）