设函数 f(x)=(x+a) ln (x+b)，若 f(x…——2024 高考数学第 8 题答案解析

## 【答案】C

## 【解析】

【分析】解法一：由题意可知：$f(x)$ 的定义域为 $(-b,+\infty)$ ，分类讨论 $-a$ 与 $-b, 1-b$ 的大小关系，结合符号分析判断，即可得 $b=a+1$ ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 $\ln (x+b)$ 的符号，进而可得 $x+a$ 的符号，即可得 $b=a+1$ ，代入可得最值．

【详解】解法一：由题意可知：$f(x)$ 的定义域为 $(-b,+\infty)$ ，

令 $x+a=0$ 解得 $x=-a$ ；令 $\ln (x+b)=0$ 解得 $x=1-b$ ；

若 $-a \leq-b$ ，当 $x \in(-b, 1-b)$ 时，可知 $x+a>0, \ln (x+b)<0$ ，

此时 $f(x)<0$ ，不合题意；

若 $-b<-a<1-b$ ，当 $x \in(-a, 1-b)$ 时，可知 $x+a>0, \ln (x+b)<0$ ，

此时 $f(x)<0$ ，不合题意；

若 $-a=1-b$ ，当 $x \in(-b, 1-b)$ 时，可知 $x+a<0, \ln (x+b)<0$ ，此时 $f(x)>0$ ；
当 $x \in[1-b,+\infty)$ 时，可知 $x+a \geq 0, \ln (x+b) \geq 0$ ，此时 $f(x) \geq 0$ ；
可知若 $-a=1-b$ ，符合题意；
若 $-a>1-b$ ，当 $x \in(1-b,-a)$ 时，可知 $x+a\langle 0, \ln (x+b)\rangle 0$ ，
此时 $f(x)<0$ ，不合题意；
综上所述：$-a=1-b$ ，即 $b=a+1$ ，
则 $a^{2}+b^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}=2\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$ ，当且仅当 $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立，
所以 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ；
解法二：由题意可知：$f(x)$ 的定义域为 $(-b,+\infty)$ ，
令 $x+a=0$ 解得 $x=-a$ ；令 $\ln (x+b)=0$ 解得 $x=1-b$ ；
则当 $x \in(-b, 1-b)$ 时， $\ln (x+b)<0$ ，故 $x+a \leq 0$ ，所以 $1-b+a \leq 0$ ；
$x \in(1-b,+\infty)$ 时， $\ln (x+b)>0$ ，故 $x+a \geq 0$ ，所以 $1-b+a \geq 0$ ；
故 $1-b+a=0$ ，则 $a^{2}+b^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}=2\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$ ，

当且仅当 $a=-\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立，
所以 $a^{2}+b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：分别求 $x+a=0 , \ln (x+b)=0$ 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断．