10．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\sqrt{2},|\overrightarrow{A B}|=2$ 。设 $C(3,4)$ ，则 $|2 \overrightarrow{C A}+\stackrel{\text { en }}{\text { AB }}|$ 的取值范围是
参考答案D
在平面直角坐标系 x O y 中， | O A |=| O…——2025 高考数学第 10 题答案解析
2025_北京卷 (2025)
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【答案】D
【解析】
【分析】先根据 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$ ，求出 $\langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\rangle$ ，进而可以用向量 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 表示出 $2 \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}$ ，即可解出。
【详解】因为 $|O A|=|O B|=\sqrt{2},|\overrightarrow{A B}|=2$ ，
由 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$ 平方可得， $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$ ，所以 $\langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\rangle=\frac{\pi}{2}$ ．
$$
2 \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}=2(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C})+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-2 \overrightarrow{O C},|\overrightarrow{O C}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,
$$
所以, $\mid 2 \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}^{2}=\overrightarrow{O A}^{2}+\overrightarrow{O B}^{2}+4 \overrightarrow{O C}^{2}-4(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot \overrightarrow{O C}$
$$
\begin{aligned}
& =2+2+4 \times 25-4(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot \overrightarrow{O C}=104-4(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot \overrightarrow{O C}, \\
& \text { 又 }|(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot \overrightarrow{O C}| \leq|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}||\overrightarrow{O C}|=5 \times \sqrt{2+2}=10, \text { 即 }-10 \leq(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \cdot \overrightarrow{O C} \leq 10,
\end{aligned}
$$
所以 $|2 \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}|^{2} \in[64,144]$ ，即 $|2 \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}| \in[8,12]$ ，
故选：D．
第二部分（非选择题 共110分）
✅ 来源：2025年 · 北京 · 2025_北京卷 (2025) · 第 10 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验