2019_新课标 I 卷 (2019·理)
22．［选修4－4：坐标系与参数方程］
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为
$2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0$.
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．
【答案】①$C: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 ; l: 2 x+\sqrt{3} y+11=0$ ；
②$\sqrt{7}$
## 【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得 $C$ 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得 $l$的直角坐标方程；②利用参数方程表示出 $C$ 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值．
【详解】①由 $x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ 得：$t^{2}=\frac{1-x}{1+x}$ ，又 $y^{2}=\frac{16 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}$
$\therefore y^{2}=\frac{16 \times \frac{1-x}{1+x}}{\left(1+\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}}=4(1+x)(1-x)=4-4 x^{2}$
整理可得 $C$ 的直角坐标方程为：$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$
又 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$
$\therefore l$ 的直角坐标方程为： $2 x+\sqrt{3} y+11=0$
②设 $C$ 上点的坐标为：$(\cos \theta, 2 \sin \theta)$
则 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离 $d=\frac{|2 \cos \theta+2 \sqrt{3} \sin \theta+11|}{\sqrt{7}}=\frac{\left|4 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+11\right|}{\sqrt{7}}$
当 $\sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时，$d$ 取最小值
则 $d_{\text {min }}=\sqrt{7}$
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．