（1）如图，在圆 O 中，相交于点 E 的两弦 A B,…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析。

## 【解析】

试题分析：（1）首先根据垂径定理可得 $\angle O M E=90^{\circ}, \angle E N O=90^{\circ}$，再由四边形的内角和即可得证；②由①中的结论可得 $O, M, E, N$ 四点共圆，再由割线定理即得 $F E \cdot F N=F M \cdot F O$

试题解析：（1）如图 $a$ 所示，$\because M, N$ 分别是弦 $A B, C D$ 的中点，$\therefore O M \perp A B, O N \perp C D$，即 $\angle O M E=90^{\circ}, \angle E N O=90^{\circ}, \angle O M E+\angle E N O=180^{\circ}$，又四边形的内角和等于 $360^{\circ}$，故 $\angle M E N+\angle N O M=180^{\circ}$；②由（I）知，$O, M, E, N$ 四点共圆，故由割线定理即得 $F E \cdot F N=F M \cdot F O D$

图a

【考点定位】1．垂径定理；2．四点共圆；3．割线定理．
【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇．
（II）已知直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta$．
①将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点 $M$ 的直角坐标为 $(5, \sqrt{3})$，直线 $l$ 与曲线 C 的交点为 $A, B$，求 $|M A| \cdot|M B|$ 的值．
【答案】①$x^{2}+y^{2}-2 x=0$；② 18．

## 【解析】

试题分析：①利用 $\rho^{2}=x^{2}+y^{2}, \rho \cos \theta=x$ 即可将已知条件中的极坐标方程转化直角坐标方程；②联立直线的参数方程与圆的直角方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解．

试题解析：①$\rho=2 \cos \theta$ 等价于 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$①，将 $\rho^{2}=x^{2}+y^{2}, \rho \cos \theta=x$ 代入①，记得曲线 C的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-2 x=0$②；②将 $\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2} t\end{array}\right.$ 代入②，得 $t^{2}+5 \sqrt{3} t+18=0$，设这个方程

的两个实数根分别为 $t_{1}, t_{2}$，则由参数 $t$ 的几何意义即知，$|M A| \cdot|M B|=\left|t_{1} t_{2}\right|=18$．
【考点定位】1．极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2．直线与圆的位置关系．
【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐标与参数方程中同样适用．
（III）设 $a>0, b>0$，且 $a+b=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$．
①$a+b \geq 2$；
②$a^{2}+a<2$ 与 $b^{2}+b<2$ 不可能同时成立．
【答案】①详见解析；②详见解析。

## 【解析】

试题分析：①将已知条件中的式子可等价变形为 $a b=1$，再由基本不等式即可得证；②利用反证法，假设假设 $a^{2}+a<2$ 与 $b^{2}+b<2$ 同时成立，可求得 $00, b>0$，得 $a b=1, ~① ~ 由$ 基本不等式及 $a b=1$，有 $a+b \geq 2 \sqrt{a b}=2$，即 $a+b \geq 2$；②假设 $a^{2}+a<2$ 与 $b^{2}+b<2$ 同时成立，则由 $a^{2}+a<2$ 及 $a>0$ 得 $0

【考点定位】1．基本不等式；2．一元二次不等式；3．反证法．
【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注。