（13 分）已知函数 f(x)= (2 cos ^ 2 x…——2013 高考数学第 15 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】（I）利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；
（II）通过 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，且 $f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求出 $\alpha$ 的正弦值，然后求出角即可。
【解答】解：（I ）因为 $f(x)=\left(2 \cos ^{2} x-1\right) \sin 2 x+\frac{1}{2} \cos 4 x$
$=\frac{1}{2} \sin 4 \mathrm{x}+\frac{1}{2} \cos 4 \mathrm{x}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(4 x+\frac{\pi}{4}\right)$
$\therefore \mathrm{T}=\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2}$,
函数的最大值为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（II）$\because f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(4 x+\frac{\pi}{4}\right), f(\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

所以 $\sin \left(4 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)=1$ ，
$\therefore 4 \alpha+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \quad k \in Z$,
$\therefore \alpha=\frac{\pi}{16}+\frac{k \pi}{2}, \quad$ 又 $\because \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \quad \pi\right)$,
$\therefore \alpha=\frac{9}{16} \pi$ ．
【点评】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．