（12 分）（2016•山东）在 ABC 中，角 A，B，…——2016 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（12 分）（2016•山东）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 2 $(\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B})=\frac{\tan \mathrm{A}}{\cos \mathrm{B}}+\frac{\tan \mathrm{B}}{\cos \mathrm{A}}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2 \mathrm{c}$ ；
（II）求 $\cos \mathrm{C}$ 的最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；证明题；综合法；解三角形．
【分析】（I）由切化弦公式 $\tan \mathrm{A}=\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}, \tan \mathrm{B}=\frac{\sin \mathrm{B}}{\cos \mathrm{B}}$ ，带入
$2(\tan \mathrm{~A}+\tan \mathrm{B})=\frac{\tan \mathrm{A}}{\cos \mathrm{B}}+\frac{\tan \mathrm{B}}{\cos \mathrm{A}}$ 并整理可得 $2(\sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~B}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B})=\sin \mathrm{A}+\cos \mathrm{B}$ ，这样根据两角和的正弦公式即可得到 $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}=2 \sin \mathrm{C}$ ，从而根据正弦定理便可得出 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2 \mathrm{c}$ ；
（II）根据 $a+b=2 c$ ，两边平方便可得出 $a^{2}+b^{2}+2 a b=4 c^{2}$ ，从而得出 $a^{2}+b^{2}=4 c^{2}-2 a b$ ，并由不等式 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$ 得出 $c^{2} \geq a b$ ，也就得到了 $\frac{c^{2}}{a b} \geqslant 1$ ，这样由余弦定理便可得出 $\cos C=\frac{3 c^{2}}{2 a b}-1$ ，从而得出 $\cos \mathrm{C}$ 的范围，进而便可得出 $\cos \mathrm{C}$ 的最小值．
【解答】解：（I）证明：由2（ $\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B})=\frac{\tan \mathrm{A}}{\cos \mathrm{B}}+\frac{\tan \mathrm{B}}{\cos \mathrm{A}}$ 得：
$2\left(\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B}\right)=\frac{\sin A}{\cos A \cos B}+\frac{\sin B}{\cos A \cos B}$ ；
∴ 两边同乘以 $\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B}$ 得， $2(\sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~B}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B})=\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}$ ；
$\therefore 2 \sin (\mathrm{~A}+\mathrm{B})=\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}$ ；
即 $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}=2 \sin \mathrm{C}$①；
根据正弦定理，$\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}=2 \mathrm{R}$ ；
$\therefore \sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}, \sin C=\frac{c}{2 R}$ ，带入（1）得：$\frac{a}{2 R}+\frac{b}{2 R}=\frac{2 c}{2 R}$ ；
$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=2 \mathrm{c}$ ；

（ II ） $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2 \mathrm{c}$ ；
$\therefore(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+2 \mathrm{ab}=4 \mathrm{c}^{2}$ ；
$\therefore a^{2}+b^{2}=4 c^{2}-2 a b$ ，且 $4 c^{2} \geq 4 a b$ ，当且仅当 $a=b$ 时取等号；
又 $\mathrm{a}, \mathrm{b}>0$ ；
$\therefore \frac{c^{2}}{a b} \geqslant 1$ ；
∴ 由余弦定理， $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{3 c^{2}-2 a b}{2 a b}=\frac{3}{2} \cdot \frac{c^{2}}{a b}-1 \geqslant \frac{1}{2}$ ；
$\therefore \cos \mathrm{C}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ．
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为 $\pi$ ，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$ 的应用，不等式的性质。