（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)= 1 3 x…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
解：（1）由 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+a x+1$，求导得 $f^{\prime}(x)=x^{2}+2 x+a$，令 $f^{\prime}(x)=0$
即 $x^{2}+2 x+a=0, \Delta=4-4 a$，
①当 $\Delta \leq 0$，即 $a \geq 1$ 时，$f^{\prime}(x) \geq 0$ 恒成立，$f(x)$ 在 R 上单调递增；
②当 $\Delta>0$，即 $a<1$ 时，方程 $x^{2}+2 x+a=0$ 的两根分别为：
$x_{1}=-1+\sqrt{1-a}, \quad x_{2}=-1-\sqrt{1-a}$,
当 $x \in(-\infty,-1-\sqrt{1-a}), f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增：
当 $x \in(-1-\sqrt{1-a},-1+\sqrt{1-a}), f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减；
当 $x \in(-1+\sqrt{1-a},+\infty), f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增。
（1）当 $a<0$ 时，由①，令 $x_{1}=-1+\sqrt{1-a}=1$，解得 $a=-3$．
（1）当 $a<-3$ 时， $1<-1+\sqrt{1-a}$，由①的讨论可知 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，止 $x_{0} \in\left(0, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{2}, 1\right)$，使得 $f\left(x_{0}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$
（2）当 $-3-1+\sqrt{1-a}, f(x)$ 在 $(0,-1+\sqrt{1-a})$ 递减，在 $(-1+\sqrt{1-a} f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} a+\frac{25}{24}$，依题意，要 $f(x)$ 存在 $x_{0} \in\left(0, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{2}, 1\right)$，使得 $f\left(x_{0}\right)$只需 $f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} a+\frac{25}{24}>0$，解得 $a>-\frac{25}{12}$，于是有 $-\frac{25}{12}