21．（本小题满分 14 分）
一种作图工具如图1所示．$O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处较链与 $O N$连接，$M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N=O N=1, M N=3$ 。当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（ $D$ 不动时，$N$ 也不动），$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$ 。以 $O$ 为原点， $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
（I）求曲线 $C$ 的方程；
（II）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1}: x-2 y=0$ 和 $l_{2}: x+2 y=0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle O Q P$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
第21题图1
第21题图1
第 $21 \stackrel{y}{\text { 题图 } 2}$
第21题图2
参考答案
（I ）$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ；（II）存在最小值 8 ．