【答案】（I ）$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ；（II）存在最小值 8 ．
【解析】（ I ）设点 $D(t, 0)(|t| \leq 2), N\left(x_{0}, y_{0}\right), M(x, y)$ ，依题意，
第 21 题解答图
$\overline{M D}=2 \overline{D N}$ ，且 $|\overline{D N}|=|\overline{O N}|=1$ ，
所以 $(t-x,-y)=2\left(x_{0}-t, y_{0}\right)$ ，且 $\left\{\begin{array}{l}\left(x_{0}-t\right)^{2}+y_{0}^{2}=1, \\ x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1 .\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}t-x=2 x_{0}-2 t, \\ y=-2 y_{0} .\end{array}\right.$ 且 $t\left(t-2 x_{0}\right)=0$ ．
由于当点 $D$ 不动时，点 $N$ 也不动，所以 $t$ 不恒等于 0 ，
于是 $t=2 x_{0}$ ，故 $x_{0}=\frac{x}{4}, y_{0}=-\frac{y}{2}$ ，代入 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1$ ，可得 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，
即所求的曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
（II）①当直线 $l$ 的斜率不存在时，直线 $l$ 为 $x=4$ 或 $x=-4$ ，都有 $S_{\triangle O P Q}=\frac{1}{2} \times 4 \times 4=8$ ．
②当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线 $l: y=k x+m\left(k \neq \pm \frac{1}{2}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ x^{2}+4 y^{2}=16,\end{array}\right.$ 消去 $y$ ，可得 $\left(1+4 k^{2}\right) x^{2}+8 k m x+4 m^{2}-16=0$ ．
因为直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，
所以 $\Delta=64 k^{2} m^{2}-4\left(1+4 k^{2}\right)\left(4 m^{2}-16\right)=0$ ，即 $m^{2}=16 k^{2}+4$ ．
又由 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ x-2 y=0,\end{array}\right.$ 可得 $P\left(\frac{2 m}{1-2 k}, \frac{m}{1-2 k}\right)$ ；同理可得 $Q\left(\frac{-2 m}{1+2 k}, \frac{m}{1+2 k}\right)$ ．
由原点 $O$ 到直线 $P Q$ 的距离为 $d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^{2}}}$ 和 $|P Q|=\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{P}-x_{Q}\right|$ ，可得
$S_{\triangle O P Q}=\frac{1}{2}|P Q| \cdot d=\frac{1}{2}|m|\left|x_{P}-x_{Q}\right|=\frac{1}{2} \cdot|m|\left|\frac{2 m}{1-2 k}+\frac{2 m}{1+2 k}\right|=\left|\frac{2 m^{2}}{1-4 k^{2}}\right|$.
将（1）代入②得，$S_{\triangle O P Q}=\left|\frac{2 m^{2}}{1-4 k^{2}}\right|=8 \frac{\left|4 k^{2}+1\right|}{\left|4 k^{2}-1\right|}$ ．
当 $k^{2}>\frac{1}{4}$ 时，$S_{\triangle O P Q}=8\left(\frac{4 k^{2}+1}{4 k^{2}-1}\right)=8\left(1+\frac{2}{4 k^{2}-1}\right)>8$ ；
当 $0 \leq k^{2}<\frac{1}{4}$ 时，$S_{\triangle O P Q}=8\left(\frac{4 k^{2}+1}{1-4 k^{2}}\right)=8\left(-1+\frac{2}{1-4 k^{2}}\right)$ ．
因 $0 \leq k^{2}<\frac{1}{4}$ ，则 $0<1-4 k^{2} \leq 1, \frac{2}{1-4 k^{2}} \geq 2$ ，所以 $S_{\triangle O P Q}=8\left(-1+\frac{2}{1-4 k^{2}}\right) \geq 8$ ，
当且仅当 $k=0$ 时取等号．
所以当 $k=0$ 时，$S_{\triangle O P Q}$ 的最小值为 8 ．
综合①②可知，当直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在四个顶点处相切时，$\triangle O P Q$ 的面积取得最小值 8 ．
考点：椭圆的标准方程、几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，最值．
【名师点睛】本题以滑槽，长短杆为背景，乍一看与我们往年考的很不一样，但是只要学生仔细读题均能找到椭圆的 $a, b, c$ 。那么第一问就迎刃而解了，第二问仍然为圆锥曲线的综合问题。
直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型。解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确。
