已知 f(x)=|x+1|-|a x-1| ． ①当 a=…——2018 高考数学第 23 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
②当 $x \in(0,1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立，转化为即 $|a x-1|<1$ ，即 $00$ ，即可求出 a 的范围．

【解答】解：（1）当 $a=1$ 时，$f(x)=|x+1|-|x-1|= \begin{cases}2, & x>1 \\ 2 x, & -1 \leqslant x \leqslant 1 \text { ，} \\ -2, & x<-1\end{cases}$
由f $(x)>1$ ，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 x>1 \\ -1 \leqslant x \leqslant 1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}2>1 \\ x>1\end{array}\right.$ ，

解得 $x>\frac{1}{2}$ ，
故不等式 $f(x)>1$ 的解集为 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ ，
（2）当 $x \in(0, ~ 1)$ 时不等式 $f(x)>x$ 成立，
$\therefore|\mathrm{x}+1|-|\mathrm{ax}-1|-\mathrm{x}>0$ ，
即 $x+1-|a x-1|-x>0$ ，
即 $|a x-1|<1$ ，
$\therefore-1$\therefore 0$\because \mathrm{x} \in(0,1)$,
$\therefore a>0$ ，
$\therefore 0$\therefore a<\frac{2}{x}$
$\because \frac{2}{x}>2$ ，
$\therefore 0<\mathrm{a} \leq 2$ ，
故 a 的取值范围为 $(0,2]$ ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．