（14分）（2016•浙江）在 ABC 中，内角 A，B，…——2016 高考数学第 16 题答案解析

【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明 $\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$
（II）若 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，则 $\frac{1}{2} \mathrm{bcsin} \mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角 A的大小。
【解答】（I）证明：$\because \mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a} \cos \mathrm{B}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}=2 \sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~B}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{B}+\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B})=2 \sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~B}$
$\therefore \sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B}=2 \sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~B}$
$\therefore \sin \mathrm{B}=2=\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}-\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B}=\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B})$
$\because \mathrm{A}, ~ \mathrm{~B}$ 是三角形中的角，
$\therefore \mathrm{B}=\mathrm{A}-\mathrm{B}$ ，
$\therefore \mathrm{A}=2 \mathrm{~B}$ ；
（II）解：$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $S=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，
$\therefore \frac{1}{2} \mathrm{bc} \sin \mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{4}$ ，
$\therefore 2 \mathrm{bc} \sin \mathrm{A}=\mathrm{a}^{2}$ ，
$\therefore 2 \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{C}=\sin \mathrm{A}=\sin 2 \mathrm{~B}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{C}=\cos \mathrm{B}$ ，
$\therefore \mathrm{B}+\mathrm{C}=90^{\circ}$ ，或 $\mathrm{C}=\mathrm{B}+90^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{A}=90^{\circ}$ 或 $\mathrm{A}=45^{\circ}$ 。
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题。