（10分）（2016•江苏）（1）求7C 3 6 -4 C…——2016 高考数学第 26 题答案解析

【解答】
（10分）（2016•江苏）（1）求7C $\frac{3}{6}-4 \mathrm{C} \frac{4}{7}$ 的值；
（2）设 $m, n \in N^{*}, n \geq m$ ，求证：$(m+1) C_{m}^{m}(m+2) C_{m+1}^{m}+(m+3) C_{m+2}^{m}+\ldots+n C$

$$ { }_{n-1}^{m}+(n+1) C{ }_{n}^{m}=(m+1) C \begin{aligned} & m+2 \\ & n+2 \end{aligned} $$

【分析】①由已知直接利用组合公式能求出 $7 C_{6}^{3}-4 C_{7}^{4}$ 的值．
（2）对任意 $m \in N^{*}$ ，当 $n=m$ 时，验证等式成立；再假设 $n=k(k \geq m)$ 时命题成立，推导出当 $n=k+1$ 时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明 $(m+1) C_{m}^{m}+(m+2) C_{m}^{m}+(m+3$

$$ ) C \int_{m+2}^{m}+\ldots+n C \int_{n-1}^{m}+(n+1) C \prod_{n}^{m}=(m+1) C \begin{aligned} & m+2 \\ & n+2 \end{aligned} $$

【解答】解：（1） $7 C_{6}^{3}-4 C_{7}^{4}$
$=7 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}-4 \times \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$=7 \times 20-4 \times 35=0$ ．
证明：（2）对任意 $m \in N^{*}$ ，
（1）当 $n=m$ 时，左边 $=(m+1) \quad C_{m}^{m}=m+1$ ，
右边 $=(m+1) C_{m+2}^{m+2}=m+1$ ，等式成立。
（2）假设 $n=k(k \geq m)$ 时命题成立，

$$ \begin{aligned} & \text { 即 }(m+1) C_{m}^{m}+(m+2) C{ }_{m+1}^{m}+(m+3) C_{m+2}^{m}+\ldots+k C_{k-1}^{m}+(k+1) C_{k}^{m}=(m+1) C_{k+2}^{m+2} \text {, } \\ & \text { 当 } n=k+1 \text { 时, } \\ & \text { 左边 }=(m+1) C_{m}^{m+}(m+2) C_{m+1}^{m}+(m+3) C_{m+2}^{m}+\cdots+k C_{k-1}^{m}+(k+1) C_{k}^{m+}(k+2) C_{k+1}^{m} \\ & =(m+1) C_{k+2}^{m+2}+(k+2) C_{k+1}^{m} \text {, } \end{aligned} $$

右边 $=(\mathrm{m}+1) \mathrm{C}_{\mathrm{k}+3}^{\mathrm{m}+2}$
$\because(m+1) C_{k+3}^{m+2}-(m+1) C_{k+2}^{m+2}$
$=(m+1)\left[\frac{(k+3)!}{(m+2)!(k-m+1)!}-\frac{(k+2)!}{(m+2)!(k-m)!}\right]$
$=(m+1) \times \frac{(k+2)!}{(m+2)!(k-m+1)!}[k+3-(k-m+1)]$
$=(k+2) \frac{(k+1)!}{m!(k-m+1)!}$
$=(\mathrm{k}+2) \mathrm{C}_{\mathrm{k}+1}^{\mathrm{ML}}$ ，
$\therefore(\mathrm{m}+1) \mathrm{C}_{\mathrm{k}+2}^{\mathrm{m}+2}+(\mathrm{k}+2) \mathrm{C}_{\mathrm{k}+1}^{\mathrm{m}}=(\mathrm{m}+1) \mathrm{C}_{\mathrm{k}+3}^{\mathrm{m}+2}$ ，
∴ 左边 $=$ 右边，
$\therefore \mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时，命题也成立，
$\therefore m, n \in N^{*}, n \geq m,(m+1) C \underset{m}{m_{+}}(m+2) C \underset{m+1}{m}+(m+3) C \underset{m+2}{m}+\ldots+n C \underset{n-1}{m}+(n+1) C$

$$ \begin{aligned} & m=(m+1) C \\ & n \end{aligned} \begin{aligned} & m+2 \\ & n+2 \end{aligned} . $$

【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用。