在长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1 D…——2022 高考数学第 7 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：

不妨设 $A B=a, A D=b, A A_{1}=c$ ，依题以及长方体的结构特征可知，$B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\angle B_{1} D B, B_{1} D$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角为 $\angle D B_{1} A$ ，所以 $\sin 30^{\circ}=\frac{c}{B_{1} D}=\frac{b}{B_{1} D}$ ，即 $b=c$ ，
$B_{1} D=2 c=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ，解得 $a=\sqrt{2} c$ 。
对于 A，$A B=a, A D=b, A B=\sqrt{2} A D$ ，A 错误；
对于 B ，过 $B$ 作 $B E \perp A B_{1}$ 于 $E$ ，易知 $B E \perp$ 平面 $A B_{1} C_{1} D$ ，所以 $A B$ 与平面 $A B_{1} C_{1} D$ 所成角为 $\angle B A E$ ，
因为 $\tan \angle B A E=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以 $\angle B A E \neq 30^{\circ}$ ，B 错误；

对于 C，$A C=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3} c, C B_{1}=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{2} c, A C \neq C B_{1}$ ，C 错误；
对于 $\mathrm{D}, B_{1} D$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角为 $\angle D B_{1} C, \sin \angle D B_{1} C=\frac{C D}{B_{1} D}=\frac{a}{2 c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，而
$0<\angle D B_{1} C<90^{\circ}$ ，所以 $\angle D B_{1} C=45^{\circ}$ ．D 正确．
故选：D．