2013 全国高考数学 2013_退役省自主命题 (2013·文) 第 18 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

（20）（本小题满分 13 分）

设函数 $f(x)=a x-\left(1+a^{2}\right) x^{2}$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x \mid f(x)>0\}$．
（I）求 $I$ 的长度（注：区间 $(\alpha, \beta)$ 的长度定义为 $\beta-\alpha$；
（II）给定常数 $k \in(0,1)$，当 $1-k \leq a \leq 1+k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．

Accepted Answer

(1) 令 $f(x)=x\left[a-\left(1+a^{2}ight) xight]=0$ 解得 $x_{1}=0 \quad x_{2}=\frac{a}{1+a^{2}}$ $	herefore I=\left\{x \left\lvert\, 0<x<\frac{a}{1+a^{2}}ight.ight\}$ $	herefore I$ 的长度 $x_{2}-x_{1}=\frac{a}{1+a^{2}}$; (2) $k \in(0,1)$ 则 $0<1-k \leq a \leq 1+k<2$ 由①$I=\frac{a}{1+a^{2}}$ $I^{\prime}=\frac{1-a^{2}}{\left(1+a^{2}ight)^{2}}>0$，令 $I^{\prime}=0$，得 $a=1$．由于 $0<k<1$ 故 $I$ 关于 $a$ 在 $[1-k, 1)$ 上单调迷增，在 $(1,1+k] \vdash$ 调递减，$I$ 必定在 $a=1-k$ 或 $a=1+k$ 处取得 $\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{\frac{1-k}{1+(1-k)^{2}}}{\frac{1+k}{1+(1+k)^{2}}}=\frac{2-k^{2}-k^{3}}{2-k^{2}+k^{3}}<1$ $I_{1}<I_{2}$ $$ 	herefore I_{\min }=\frac{1-k}{2-2 k+k^{2}} $$ 因此当 $a=1-k$ 时，$I$ 在区间 $[1-k:+k]$ 上取征最小值 $\frac{1-k}{2-2 k+k^{2}}$

2013 高考数学第 18 题答案解析

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