（20）（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)=a x…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【答案】①令 $f(x)=x\left[a-\left(1+a^{2}\right) x\right]=0$
解得 $x_{1}=0 \quad x_{2}=\frac{a}{1+a^{2}}$
$\therefore I=\left\{x \left\lvert\, 0$\therefore I$ 的长度 $x_{2}-x_{1}=\frac{a}{1+a^{2}}$
②$k \in(0,1)$ 则 $0<1-k \leq a \leq 1+k<2$
由①$I=\frac{a}{1+a^{2}}$
$I^{\prime}=\frac{1-a^{2}}{\left(1+a^{2}\right)^{2}}>0$，令 $I^{\prime}=0$，得 $a=1$．由于 $0故 $I$ 关于 $a$ 在 $[1-k, 1)$ 上单调迷增，在 $(1,1+k] \vdash$ 调递减，$I$ 必定在 $a=1-k$ 或 $a=1+k$ 处取得 $\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{\frac{1-k}{1+(1-k)^{2}}}{\frac{1+k}{1+(1+k)^{2}}}=\frac{2-k^{2}-k^{3}}{2-k^{2}+k^{3}}<1$
$I_{1}

$$ \therefore I_{\min }=\frac{1-k}{2-2 k+k^{2}} $$

因此当 $a=1-k$ 时，$I$ 在区间 $[1-k:+k]$ 上取征最小值 $\frac{1-k}{2-2 k+k^{2}}$，
【解析】第（1）题求解一元二次不等一＂唃定区问 $I$ 的取脏讵围，根据题意能够求出 $I$ 的长度，简单题；第②题要能理解其实就是求 $I$ 关工 $a$ 在给定区何 小最小值，通过求导就能确定最小值是当 $a$ 取何值，但此题易错点在于需要比较 $a$ 在！- 与 $1+k$ 处 $I$ 的大小，利用作差或作商都可以解决，出题思路比较新颖，容易迷惑，但只要能移理解题意，基本能够求解出来。

【考点定位】考查二次不等巧的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力。