（5 分）已知函数 f(x)=x^ 3 -2 x+e^ x…——2017 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
（5 分）（2017•江苏）已知函数 $f(x)=x^{3}-2 x+e^{x}-\frac{1}{e^{x}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．若 $f(a-1)+f\left(2 a^{2}\right) \leqslant 0$ ．则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-1, \frac{1}{2}\right]$ $\_\_\_\_$。

【分析】求出 $f(x)$ 的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 $f(x)$ 在 $R$上递增；再由奇偶性的定义，可得 $f(x)$ 为奇函数，原不等式即为 $2 a^{2} \leqslant 1-a$ ，

运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
【解答】解：函数 $f(x)=x^{3}-2 x+e^{x}-\frac{1}{e^{x}}$ 的导数为：
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2+e^{x}+\frac{1}{e^{x}} \geqslant-2+2 \sqrt{e^{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}}=0$,
可得 $f(x)$ 在 $R$ 上递增；
又 $f(-x)+f(x)=(-x)^{3}+2 x+e-x-e^{x}+x^{3}-2 x+e^{x}-\frac{1}{e^{x}}=0$ ，
可得 $f(x)$ 为奇函数，
则 $f(a-1)+f\left(2 a^{2}\right) \leqslant 0$ ，
即有 $f\left(2 a^{2}\right) \leqslant-f(a-1)=f(1-a)$,
即有 $2 a^{2} \leqslant 1-a$,
解得 $-1 \leqslant \mathrm{a} \leqslant \frac{1}{2}$ ，
故答案为：$\left[-1, \frac{1}{2}\right]$ ．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．