(x+ y^ 2 x )(x+y)^ 5 的展开式中 x^…——2020 高考数学第 8 题答案解析

## 【答案】C

## 【解析】

【分析】
求得 $(x+y)^{5}$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} \quad(r \in N$ 且 $r \leq 5)$ ，即可求得 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)$ 与 $(x+y)^{5}$ 展开式的乘积为 $C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 或 $C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$ 形式，对 $r$ 分别赋值为 3 ，1即可求得 $x^{3} y^{3}$ 的系数，问题得解．

【详解】 $(x+y)^{5}$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} \quad(r \in N$ 且 $r \leq 5)$
所以 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)$ 与 $(x+y)^{5}$ 展开式的乘积可表示为：
$x T_{r+1}=x C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 或 $\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=\frac{y^{2}}{x} C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$
在 $x T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 中，令 $r=3$ ，可得：$x T_{4}=C_{5}^{3} x^{3} y^{3}$ ，该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 10 ，
在 $\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$ 中，令 $r=1$ ，可得：$\frac{y^{2}}{x} T_{2}=C_{5}^{1} x^{3} y^{3}$ ，该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 5

所以 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $10+5=15$
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题．