（14分）如图，在三棱锥 P-A B C 中， P A A…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；$L W$ ：直线与平面垂直；$L Y$ ：平面与平面垂直。

【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得 $P A \perp$ 平面 $A B C$ ，再由性质定理即可得证；
（2）要证平面 $\mathrm{BDE} \perp$ 平面 PAC ，可证 $\mathrm{BD} \perp$ 平面 PAC ，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，再由等腰三角形的性质可得 $B D \perp A C$ ，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
③由线面平行的性质定理可得 $\mathrm{PA} / / \mathrm{DE}$ ，运用中位线定理，可得 DE 的长，以及 $D E \perp$ 平面 $A B C$ ，求得三角形 $B C D$ 的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．

【解答】解：（1）证明：由 $P A \perp A B, P A \perp B C$ ，
$A B \subset$ 平面 $A B C, B C \subset$ 平面 $A B C$ ，且 $A B \cap B C=B$ ，
可得 $P A \perp$ 平面 $A B C$ ，
由 $\mathrm{BDC} \subset$ 平面 ABC ，
可得 $P A \perp B D$ ；
（2）证明：由 $A B=B C, D$ 为线段 $A C$ 的中点，
可得 $B D \perp A C$ ，
由 $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \mathrm{PAC}$ 平面 PAC ，
可得平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，
又平面 $\mathrm{PAC} \cap$ 平面 $\mathrm{ABC}=\mathrm{AC}$ ，
$B D \subset$ 平面 $A B C$ ，且 $B D \perp A C$ ，
即有 $\mathrm{BD} \perp$ 平面 PAC ，
BDC 平面 BDE ，
可得平面 $\mathrm{BDE} \perp$ 平面 PAC ；
③ $\mathrm{PA} / /$ 平面 $\mathrm{BDE}, \mathrm{PAC}$ 平面 PAC ，
且平面 $P A C \cap$ 平面 $B D E=D E$ ，
可得 $P A / / D E$ ，

又 D 为 AC 的中点，
可得 $E$ 为 $P C$ 的中点，且 $D E=\frac{1}{2} P A=1$ ，
由 $P A \perp$ 平面 $A B C$ ，
可得 $D E \perp$ 平面 $A B C$ ，
可得 $S_{\triangle B D C}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2=1$ ，
则三棱锥 $E-B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3} D E \cdot S_{\triangle B D C}=\frac{1}{3} \times 1 \times 1=\frac{1}{3}$ ．

【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．