（13分）（2016 天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料…——2016 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（13分）（ $2016 \bullet$ 天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：

现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料。
已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车品乙种肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数。
（1）用 x ， y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润。
【分析】（1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；
（2）令利润 $z=2 x+3 y$ ，则 $y=-\frac{2}{3} x+\frac{z}{3}$ ，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优解。
【解答】解：（1）$x$ ，$y$ 满足的条件关系式为：$\left\{\begin{array}{l}4 x+5 y \leqslant 200 \\ 8 x+5 y \leqslant 360 \\ 3 x+10 y \leqslant 300 \\ x \geqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ ．
作出平面区域如图所示：

②设利润为 z 万元，则 $\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}$ ．
$\therefore \mathrm{y}=-\frac{2}{3} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{z}}{3}$ ．
∴ 当直线 $\mathrm{y}=-\frac{2}{3} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{z}}{3}$ 经过点 B 时，截距 $\frac{\mathrm{z}}{3}$ 最大，即 z 最大．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}4 x+5 y=200 \\ 3 x+10 y=300\end{array}\right.$ 得 $B(20,24)$ ．

$\therefore z$ 的最大值为 $2 \times 20+3 \times 24=112$ ．
答：当生产甲种肥料 20 吨，乙种肥料 24 吨时，利润最大，最大利润为 112 万元。
【点评】本题考查了简单的线性规划的应用，抽象概括能力和计算求解能力，属于中档题