2021_上海卷 (2021)
12．已知 $\theta>0$ ，存在实数 $\varphi$ ，使得对任意 $n \in N^{*}, ~ \cos (n \theta+\varphi)<\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\theta$ 的最小值是＿ $\frac{2 \pi}{5}$ ．
【思路分析】在单位圆中分析可得 $\theta>\frac{\pi}{3}$ ，由 $\frac{2 \pi}{\theta} \in N^{*}$ ，即 $\theta=\frac{2 \pi}{k}, ~ k \in N^{*}$ ，即可求得 $\theta$的最小值．
【解析】：在单位圆中分析，由题意可得 $n \theta+\varphi$ 的终边要落在图中阴影部分区域（其中 $\angle A O x=\angle B O x=\frac{\pi}{6}$ ），
所以 $\theta>\angle A O B=\frac{\pi}{3}$ ，
因为对任意 $n \in N *$ 都成立，
所以 $\frac{2 \pi}{\theta} \in N^{*}$ ，即 $\theta=\frac{2 \pi}{k}, ~ k \in N^{*}$ ，
同时 $\theta>\frac{\pi}{3}$ ，所以 $\theta$ 的最小值为 $\frac{2 \pi}{5}$ ．
故答案为：$\frac{2 \pi}{5}$ ．
【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．