2013_江苏卷 (2013)
15、（本小题满分 14 分）
已知向量 $\vec{a}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \vec{b}=(\cos \beta, \sin \beta), 0<\beta<\alpha<\pi$ 。
（1）若 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2}$ ，求证：$\vec{a} \perp \vec{b}$ ；
②设 $\vec{c}=(0,1)$ ，若 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ ，求 $\alpha, \beta$ 的值。
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
解：（1） $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(\cos \alpha-\cos \beta, \sin \alpha-\sin \beta)$ ， $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}=(\cos \alpha-\cos \beta)^{2}+(\sin \alpha-\sin \beta)^{2}=2-2(\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta)=2$,
所以， $\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta=0$ ，
所以， $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ．
> ②$\left\{\begin{array}{ll}\cos \alpha+\cos \beta=0 & ① \\ \sin \alpha+\sin \beta=1 & ②\end{array}\right.$ ，①${ }^{2}+(2)^{2}$ 得： $\cos (\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}$ ．
所以，$\alpha-\beta=\frac{2}{3} \pi, \alpha=\frac{2}{3} \pi+\beta$ ，
带入（2）得： $\sin \left(\frac{2}{3} \pi+\beta\right)+\sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \beta+\frac{1}{2} \sin \beta=\sin \left(\frac{\pi}{3}+\beta\right)=1$ ，
所以，$\frac{\pi}{3}+\beta=\frac{\pi}{2}$ ．
所以，$\alpha=\frac{5 \pi}{6}, \beta=\frac{\pi}{6}$ ．