如图，在四棱锥 P-A B C D 中，底面 A B C…——2021 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析
②$\frac{\sqrt{15}}{6}$ ．

## 【解析】

【分析】（1）要证 $A B \perp P M$ ，可证 $D C \perp P M$ ，由题意可得，$P D \perp D C$ ，易证 $D M \perp D C$ ，从而 $D C \perp$ 平面 $P D M$ ，即有 $D C \perp P M$ ，从而得证；
（2）取 $A D$ 中点 $E$ ，根据题意可知，$M E, D M, P M$ 两两垂直，所以以点 $M$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量 $\overrightarrow{A N}$ 和平面 PDM 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．

【详解】（1）在 $\triangle D C M$ 中，$D C=1, C M=2, \angle D C M=60^{\circ}$ ，由余弦定理可得 $D M=\sqrt{3}$ ，所以 $D M^{2}+D C^{2}=C M^{2}, \therefore D M \perp D C$ ．由题意 $D C \perp P D$ 且 $P D \cap D M=D, \therefore D C \perp$ 平面 $P D M$ ，而 $P M \subset$ 平面 $P D M$ ，所以 $D C \perp P M$ ，又 $A B / / D C$ ，所以 $A B \perp P M$ ．
（2）由 $P M \perp M D, A B \perp P M$ ，而 $A B$ 与 $D M$ 相交，所以 $P M \perp$ 平面 $A B C D$ ，因为 $A M=\sqrt{7}$ ，所以 $P M=2 \sqrt{2}$ ，取 $A D$ 中点 $E$ ，连接 $M E$ ，则 $M E, D M, P M$ 两两垂直，以点 $M$ 为坐标原点，如图所示 ，建立空间直角坐标系，

则 $A(-\sqrt{3}, 2,0), P(0,0,2 \sqrt{2}), D(\sqrt{3}, 0,0), M(0,0,0), C(\sqrt{3},-1,0)$
又 $N$ 为 $P C$ 中点，所以 $N\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right), \overrightarrow{A N}=\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}, \sqrt{2}\right)$ ．
由（1）得 $C D \perp$ 平面 $P D M$ ，所以平面 $P D M$ 的一个法向量 $\vec{n}=(0,1,0)$

从而直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值为 $\sin \theta=\frac{|\overrightarrow{A N} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{A N}||\vec{n}|}=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{25}{4}+2}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$ ．

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 $A B \perp P M$ ，可以考虑 $D C \perp P M$ ，题中与 $D C$ 有垂直关系的直线较多，易证 $D C \perp$ 平面 $P D M$ ，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由

第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出。