（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 arr…——2017 高考数学第 22 题答案解析

【考点】IT：点到直线的距离公式； QH ：参数方程化成普通方程．
【专题】34：方程思想； 4 Q ：参数法； 5 S ：坐标系和参数方程．
【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线 $l$的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线 C 上的点可以表示成 $\mathrm{P}(3 \cos \theta, \sin \theta), ~ \theta \in[0,2 \pi)$ ，运用点到直线距离公式可以表示出 P 到直线 $l$ 的距离，再结合距离最大值为 $\sqrt{17}$ 进行分析，可以求出 a 的值。
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），化为标准方程是：$\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 ;$
$a=-1$ 时，直线 $l$ 的参数方程化为一般方程是：$x+4 y-3=0$ ；
联立方程 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 \\ x+4 y-3=0\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{21}{25} \\ y=\frac{24}{25}\end{array}\right.$ ，
所以椭圆 C 和直线 $l$ 的交点为 $(3,0)$ 和 $\left(-\frac{21}{25}, \frac{24}{25}\right)$ ．
②I的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a+4 t \\ y=1-t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）化为一般方程是：$x+4 y-a-4=0$ ，
椭圆 C 上的任一点 P 可以表示成 $\mathrm{P}(3 \cos \theta, \sin \theta), ~ \theta \in[0,2 \pi)$ ，
所以点 P 到直线 $l$ 的距离 d 为：
$d=\frac{|3 \cos \theta+4 \sin \theta-a-4|}{\sqrt{17}}=\frac{|5 \sin (\theta+\phi)-a-4|}{\sqrt{17}}, \phi$ 满足 $\tan \phi=\frac{3}{4}$ ，且的 $d$ 的最大值为 $\sqrt{17}$ ．
①当 $-a-4 \leq 0$ 时，即 $a \geq-4$ 时，
$|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leq|-5-a-4|=5+a+4=17$

解得 $a=8 \geq-4$ ，符合题意．
②当 $-a-4>0$ 时，即 $a<-4$ 时
$|5 \sin (\theta+4)-a-4| \leq|5-a-4|=5-a-4=1-a=17$
解得 $a=-16<-4$ ，符合题意．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线 C 上的点到直线 I 距离的最大值求出 a ．