（本小题满分 12 分） 《九章算术》中，将底面为长方形且…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（I ）详见解析；（II）$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

【解析】（解法 1）（I ）因为 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，所以 $P D \perp B C$ ，
由底面 $A B C D$ 为长方形，有 $B C \perp C D$ ，而 $P D \cap C D=D$ ，
所以 $B C \perp$ 平面 $P C D$ ．而 $D E \subset$ 平面 $P C D$ ，所以 $B C \perp D E$ ．
又因为 $P D=C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，所以 $D E \perp P C$ ．
而 $P C \cap B C=C$ ，所以 $D E \perp$ 平面 $P B C$ ．而 $P B \subset$ 平面 $P B C$ ，所以 $P B \perp D E$ ．
又 $P B \perp E F, D E \cap E F=E$ ，所以 $P B \perp$ 平面 $D E F$ ．
由 $D E \perp$ 平面 $P B C, P B \perp$ 平面 $D E F$ ，可知四面体 $B D E F$ 的四个面都是直角三角形，
即四面体 $B D E F$ 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 $\angle D E B, \angle D E F, \angle E F B, \angle D F B$ ．
（II）如图 1，在面 $P B C$ 内，延长 $B C$ 与 $F E$ 交于点 $G$ ，则 $D G$ 是平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$
的交线．由（I）知，$P B \perp$ 平面 $D E F$ ，所以 $P B \perp D G$ ．
又因为 $P D \perp$ 底面 $A B C D$ ，所以 $P D \perp D G$ ．而 $P D \cap P B=P$ ，所以 $D G \perp$ 平面 $P B D$ ．
故 $\angle B D F$ 是面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成一面角的平面角，
设 $P D=D C=1, B C=\lambda$ ，有 $B D=\sqrt{1+\lambda^{2}}$ ，
在 Rt $\triangle P D B$ 中，由 $D F \perp P B$ ，得 $\angle D P F=\angle F D B=\frac{\pi}{3}$ ，
则 $\tan \frac{\pi}{3}=\tan \angle D P F=\frac{B D}{P D}=\sqrt{1+\lambda^{2}}=\sqrt{3}$ ，解得 $\lambda=\sqrt{2}$ ．
所以 $\frac{D C}{B C}=\frac{1}{\lambda}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
故当面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ 时，$\frac{D C}{B C}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（解法 2）
（I）如图 2，以 $D$ 为原点，射线 $D A, D C, D P$ 分别为 $x, y, z$ 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
设 $P D=D C=1, B C=\lambda$ ，则 $D(0,0,0), P(0,0,1), B(\lambda, 1,0), C(0,1,0), \overrightarrow{P B}=(\lambda, 1,-1)$ ，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，所以 $E\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \overline{D E}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，

于是 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{D E}=0$ ，即 $P B \perp D E$ ．
又已知 $E F \perp P B$ ，而 $D E \cap E F=E$ ，所以 $P B \perp$ 平面 $D E F$ ．
因 $\overline{P C}=(0,1,-1), \overline{D E} \cdot \overline{P C}=0$ ，则 $D E \perp P C$ ，所以 $D E \perp$ 平面 $P B C$ ．
由 $D E \perp$ 平面 $P B C, P B \perp$ 平面 $D E F$ ，可知四面体 $B D E F$ 的四个面都是直角三角形，
即四面体 $B D E F$ 是一个鳌臑，其四个面的直角分别为 $\angle D E B, \angle D E F, \angle E F B, \angle D F B$ ．

第19题解答图1

第 19 题解答图2

（ II ）由 $P D \perp$ 平面 $A B C D$ ，所以 $\overrightarrow{D P}=(0,0,1)$ 是平面 $A B C D$ 的一个法向量；
由（ I ）知，$P B \perp$ 平面 $D E F$ ，所以 $\overrightarrow{B P}=(-\lambda,-1,1)$ 是平面 $D E F$ 的一个法向量．
若面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ ，
则 $\cos \frac{\pi}{3}=\left|\frac{\overrightarrow{B P} \cdot \overrightarrow{D P}}{|\overrightarrow{B P}| \cdot|\overrightarrow{D P}|}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{\lambda^{2}+2}}\right|=\frac{1}{2}$ ，
解得 $\lambda=\sqrt{2}$ ．所以 $\frac{D C}{B C}=\frac{1}{\lambda}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

故当面 $D E F$ 与面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ 时，$\frac{D C}{B C}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
【考点定位】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角．
【名师点睛】立体几何是高考的重点和热点内容，而求空间角是重中之重，利用空间向量求空间角的方法固定，思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点，也是学生的易错易误点。解题时正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等。