（本小题满分 12 分） 《九章算术》中，将底面为长方形且…——2015 高考数学第 19 题答案解析

（I）因为 $PD \perp$ 底面 $ABCD$，且 $BC \subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PD \perp BC$。
又因为底面 $ABCD$ 为长方形，所以 $BC \perp CD$。
因为 $PD \cap CD = D$，且 $PD, CD \subset$ 平面 $PCD$，所以 $BC \perp$ 平面 $PCD$。
因为 $DE \subset$ 平面 $PCD$，所以 $BC \perp DE$。

在 $\triangle PDC$ 中，因为 $PD=CD$，且 $E$ 为 $PC$ 的中点，所以 $DE \perp PC$。
因为 $PC \cap BC = C$，且 $PC, BC \subset$ 平面 $PBC$，所以 $DE \perp$ 平面 $PBC$。
因为 $PB \subset$ 平面 $PBC$，所以 $DE \perp PB$。

已知 $EF \perp PB$，且 $DE \cap EF = E$， $DE, EF \subset$ 平面 $DEF$，
所以 $PB \perp$ 平面 $DEF$。

由上述推导可知：
1. 因为 $DE \perp$ 平面 $PBC$，且 $BE, EF \subset$ 平面 $PBC$，所以 $DE \perp BE$，$DE \perp EF$。即 $\angle DEB = 90^\circ$，$\angle DEF = 90^\circ$。
2. 因为 $PB \perp$ 平面 $DEF$，且 $EF, DF \subset$ 平面 $DEF$，所以 $PB \perp EF$，$PB \perp DF$。即 $\angle EFB = 90^\circ$，$\angle DFB = 90^\circ$。
综上，四面体 $DBEF$ 的四个面均为直角三角形，故其为鳖臑。
其四个面的直角分别为：$\angle DEB, \angle DEF, \angle EFB, \angle DFB$。

（II）以 $D$ 为原点，分别以射线 $DA, DC, DP$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。
设 $PD=CD=1$，$BC=\lambda (\lambda > 0)$，则 $D(0,0,0)$，$P(0,0,1)$，$C(0,1,0)$，$B(\lambda, 1, 0)$。
由此可得 $\overrightarrow{DP} = (0,0,1)$，$\overrightarrow{BP} = (-\lambda, -1, 1)$。

因为 $PD \perp$ 平面 $ABCD$，所以平面 $ABCD$ 的一个法向量为 $\vec{n_1} = \overrightarrow{DP} = (0,0,1)$。
由（I）知 $PB \perp$ 平面 $DEF$，所以平面 $DEF$ 的一个法向量为 $\vec{n_2} = \overrightarrow{BP} = (-\lambda, -1, 1)$。

设平面 $DEF$ 与平面 $ABCD$ 所成二面角的大小为 $\theta$，则 $\theta = \frac{\pi}{3}$。
由向量夹角公式可得：
$$ |\cos \theta| = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} $$
代入数据得：
$$ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{|0 \times (-\lambda) + 0 \times (-1) + 1 \times 1|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{(-\lambda)^2 + (-1)^2 + 1^2}} $$
$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{\lambda^2 + 2}} $$
解得 $\sqrt{\lambda^2 + 2} = 2$，即 $\lambda^2 + 2 = 4$，所以 $\lambda^2 = 2$。
因为 $\lambda > 0$，所以 $\lambda = \sqrt{2}$。

此时 $DC=1$，$BC=\sqrt{2}$，
所以 $\frac{DC}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。