已知向量 a , b 满足 | a - b |= 3 ,|…——2023 高考数学第 13 题答案解析

【答案】 $\sqrt{3}$

## 【解析】

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ${ }^{\prime} c=\stackrel{r}{a}-\stackrel{\prime}{b}$ ，结合数量积的运算律运算求解．

【详解】法一：因为 $|\vec{a}+\vec{b}|=|2 \vec{a}-\vec{b}|$ ，即 $(\vec{a}+\vec{b})^{2}=(2 \vec{a}-\vec{b})^{2}$ ，
则 $\mathbf{r}_{2}+2 \stackrel{\mathbf{r}}{a} \cdot \stackrel{\mathbf{r}}{b}+\stackrel{\mathbf{r}_{2}}{b}=4 a^{\mathbf{r}_{2}}-4 \stackrel{\mathbf{r}}{\mathbf{r}} \cdot \stackrel{\mathbf{r}}{\mathbf{b}}+\stackrel{\mathbf{r}}{b}^{2}$ ，整理得 $\vec{a}^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，
又因为 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ ，即 $(\vec{a}-\vec{b})^{2}=3$ ，
则 $\overrightarrow{\mathrm{r}}^{2}-2 \stackrel{\mathrm{r}}{a} \cdot \stackrel{\mathrm{r}}{b}+\stackrel{\mathrm{r}_{2}}{{ }^{2}}=\stackrel{\mathrm{r}_{2}}{b}=3$ ，所以 $|\vec{b}|=\sqrt{3}$ ．
法二：设 ${ }^{\prime} c=\stackrel{\mathrm{r}}{\mathrm{a}}-\stackrel{\prime}{b}$ ，则 $|\stackrel{\mathrm{I}}{c}|=\sqrt{3}, \stackrel{\mathrm{I}}{a}+\stackrel{\mathrm{I}}{b}=\stackrel{\mathrm{I}}{c}+2 \stackrel{\mathrm{I}}{b}, 2 \stackrel{\mathrm{I}}{a}-\stackrel{\mathrm{I}}{b}=\stackrel{\mathrm{I}}{\mathrm{c}}+\stackrel{\mathrm{I}}{b}$ ，

整理得：$\frac{\mathbf{r}_{2}}{c}=\mathbf{r}_{2}$ ，即 $|b|=|c|=\sqrt{3}$ 。
故答案为：$\sqrt{3}$ ．