（22）本小题满分 10 分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知 $\triangle A B C$ 的两条角平分线 $A D$ 和 $C E$ 相交于 $\mathrm{H}, \angle B=60^{\circ}$ ，F在 $A C$ 上，且 $A E=A F$ 。
（I）证明： $\mathrm{B}, \mathrm{D}, \mathrm{H}, \mathrm{E}$ 四点共圆：
（II）证明：$C E$ 平分 $\angle D E F$ 。
（22）本小题满分 10 分）选修4－1：几何证明选讲 如…——2009 高考数学第 22 题答案解析
2009_老新课标卷 (2009·理)
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【解答】
解：
（I）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，因为 $\angle \mathrm{B}=60^{\circ}$ ，
所以 $\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{BCA}=120^{\circ}$ ．
因为AD，CE是角平分线，
所以 $\angle \mathrm{HAC}+\angle \mathrm{HCA}=60^{\circ}$ ，
故 $\angle \mathrm{AHC}=120^{\circ}$ ．
于是 $\angle \mathrm{EHD}=\angle \mathrm{AHC}=120^{\circ}$ ．
因为 $\angle \mathrm{EBD}+\angle \mathrm{EHD}=180^{\circ}$ ，
所以 $\mathrm{B}, \mathrm{D}, \mathrm{H}, \mathrm{E}$ 四点共圆．
（II）连结 BH ，则 BH 为 $\angle \mathrm{ABC}$ 的平分线，得 $\angle \mathrm{HBD}=30^{\circ}$
由（I）知 $\mathrm{B}, \mathrm{D}, \mathrm{H}, \mathrm{E}$ 四点共圆，
所以 $\angle \mathrm{CED}=\angle \mathrm{HBD}=30^{\circ}$ ．
又 $\angle \mathrm{AHE}=\angle \mathrm{EBD}=60^{\circ}$ ，由已知可得 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AD}$ ，
可得 $\angle \mathrm{CEF}=30^{\circ}$ ．
所以 CE 平分 $\angle \mathrm{DEF}$ ．
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