已知函数 f(x) 的定义域为 R , f(x y)=y^…——2023 高考数学第 11 题答案解析

【答案】ABC

【解析】

**方法一**：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项 ABC，举反例 $f(x)=0$ 即可排除选项 D。

**方法二**：选项 ABC 的判断与方法一同，对于 D，可构造特殊函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \ln |x|, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 进行判断即可．
**方法一**：
因为 $f(x y)=y^{2} f(x)+x^{2} f(y)$ ，
对于 A ，令 $x=y=0, f(0)=0 f(0)+0 f(0)=0$ ，故 A 正确．

对于 B，令 $x=y=1, f(1)=1 f(1)+1 f(1)$ ，则 $f(1)=0$ ，故 B 正确．

对于 C ，令 $x=y=-1, f(1)=f(-1)+f(-1)=2 f(-1)$ ，则 $f(-1)=0$ ，

令 $y=-1, f(-x)=f(x)+x^{2} f(-1)=f(x)$ ，
又函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，所以 $f(x)$ 为偶函数，故 $\mathbf{C}$ 正确，
对于 D ，不妨令 $f(x)=0$ ，显然符合题设条件，此时 $f(x)$ 无极值，故 D 错误

**方法二**：
因为 $f(x y)=y^{2} f(x)+x^{2} f(y)$ ，
对于 A ，令 $x=y=0, f(0)=0 f(0)+0 f(0)=0$ ，故 A 正确．
对于 B，令 $x=y=1, f(1)=1 f(1)+1 f(1)$ ，则 $f(1)=0$ ，故 B 正确．

对于 C ，令 $x=y=-1, f(1)=f(-1)+f(-1)=2 f(-1)$ ，则 $f(-1)=0$ ，

令 $y=-1, f(-x)=f(x)+x^{2} f(-1)=f(x)$ ，
又函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，所以 $f(x)$ 为偶函数，故 $\mathbf{C}$ 正确，
对于 D ，当 $x^{2} y^{2} \neq 0$ 时，对 $f(x y)=y^{2} f(x)+x^{2} f(y)$ 两边同时除以 $x^{2} y^{2}$ ，得到 $\frac{f(x y)}{x^{2} y^{2}}=\frac{f(x)}{x^{2}}+\frac{f(y)}{y^{2}}$ ，
故可以设 $\frac{f(x)}{x^{2}}=\ln |x|(x \neq 0)$ ，则 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \ln |x|, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ，
当 $x>0$ 肘，$f(x)=x^{2} \ln x$ ，则 $f^{\prime}(x)=2 x \ln x+x^{2} \cdot \frac{1}{x}=x(2 \ln x+1)$ ，
令 $f^{\prime}(x)<0$ ，得 $0<x<\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ；令 $f \boldsymbol{\phi}(x)>0$ ，得 $x>\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ；
故 $f(x)$ 在 $\left(0, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}},+\infty\right)$ 上单调递增，

因为 $f(x)$ 为偶函数，所以 $f(x)$ 在 $\left(-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, 0\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\infty, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}\right)$ 上单调递减，

显然，此时 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值，故 D 错误．
故选： ABC ．