17．（本小题满分 12 分）
如图 2．在直棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{2}, \mathrm{AA}_{1}=3, \mathrm{D}$ 是 BC 的中点，点 E 在菱 $\mathrm{BB}_{1}$ 上运动。
（I）证明： $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$；
（II）当异面直线 $\mathrm{AC}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时，求三棱锥 $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{E}$ 的体积
参考答案(1) 因为直棱柱，所以 $B_{1} B \perp$ 平面 ABC，所以 $B_{1} B \perp A D$，因为 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，所以 $\mathrm{AD} \perp B C$，因为 $B C \cap B B_{1}=B$，所以 $A D \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$，所以 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$; (2) 因为 $C A / / C_{1} A_{1}$，所以 $\angle E C_{1} A_{1}=60^{0}$，故 $A_{1} E=\sqrt{6}$，  图2 $A_{1} B_{1}=\sqrt{2}$，所以 $B_{1} E=2$，所以 $V_{C-A B E}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A B_{1} E} \cdot A_{1} C_{1}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=\frac{2}{3}$．
