如图，在极坐标系 O x 中， A(2,0), B ( 2…——2019 高考数学第 22 题答案解析

【答案】①$\rho=2 \cos \theta\left(\theta \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\right), \rho=2 \sin \theta\left(\theta \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]\right), \rho=-2 \cos \theta\left(\theta \in\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right]\right)$ ，
②$\left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{2 \pi}{3}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{5 \pi}{6}\right)$ ．

## 【解析】

【分析】
（1）将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中 $\theta$ 的取值范围．
（2）根据条件 $\rho=\sqrt{3}$ 逐个方程代入求解，最后解出 $P$ 点的极坐标。
【详解】①由题意得，这三个圆的直径都是 2 ，并且都过原点．
$M_{1}: \rho=2 \cos \theta\left(\theta \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\right)$,
$M_{2}: \rho=2 \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=2 \sin \theta\left(\theta \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]\right)$,
$M_{3}: \rho=2 \cos (\theta-\pi)=-2 \cos \theta\left(\theta \in\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right]\right)$.
（2）解方程 $2 \cos \theta=\sqrt{3}\left(\theta \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\right)$ 得 $\theta=\frac{\pi}{6}$ ，此时 P 的极坐标为 $\left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}\right)$
解方程 $2 \sin \theta=\sqrt{3}\left(\theta \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]\right)$ 得 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 或 $\theta=\frac{2 \pi}{3}$ ，此时 P 的极坐标为 $\left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ 或 $\left(\sqrt{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$
解方程 $-2 \cos \theta=\sqrt{3}\left(\theta \in\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right]\right)$ 得 $\theta=\frac{5 \pi}{6}$ ，此时 P 的极坐标为 $\left(\sqrt{3}, \frac{5 \pi}{6}\right)$
故 P 的极坐标为 $\left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{6}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{2 \pi}{3}\right),\left(\sqrt{3}, \frac{5 \pi}{6}\right)$ ．
【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．