（19）（本小题满分 13 分，（I）小问5分，（II）小…——2013 高考数学第 19 题答案解析

解析：考查了空间想象能力和观察问题的能力；
（I）如答（19）图，连接 $B D$ 交 $A C$ 于 $O$ ，因为 $B C=C D$ 即 $\triangle B C D$ 为等腰三角形，又 $A C$ 平分 $\angle B C D$ 故 $A C \perp B D$ ，以点 $O$ 为坐标原点， $\overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}, \overrightarrow{A P}$ 的方向分别为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $O-x y z$ ，则 $O C=C D \cos \frac{\pi}{3}=1$ ，而 $A C=4$ 得
$A O=A C-O C=3$ 又 $O D=C D \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ ，
故 $A(0,-3,0), B(\sqrt{3}, 0,0), C(0,1,0), C(-\sqrt{3}, 0,0)$
因 $P A \perp$ 底面 $A B C D$ ，可设 $P(0,-3, z)$, 由 $F$ 为 $P C$ 的中点

答（19）图

$F\left(0,-1, \frac{z}{2}\right)$ ，又 $\overrightarrow{A F}=\left(0,2, \frac{z}{2}\right), \overrightarrow{P B}=(\sqrt{3}, 3,-z)$ ，因 $A F \perp$
$P B$ 故 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{P B}=0$ 即 $6-\frac{z^{2}}{2}=0, z=2 \sqrt{3}$ 所以 $|\overrightarrow{P A}|=2 \sqrt{3}$
（II）由（I）知 $\overrightarrow{A D}=(-\sqrt{3}, 3,0), \overrightarrow{A B}=(\sqrt{3}, 3,0), \overrightarrow{A F}=(0,2, \sqrt{3})$ ，
设平面 $F A D$ 法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，平面 $F A B$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 。由 $\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{A F}=0$ ，

$\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{A D}=0$ 得 $\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3} x_{1}+3 y_{1}=0 \\ 2 y_{1}+\sqrt{3} z_{1}=0\end{array}\right.$ 因此可取 $\overrightarrow{n_{1}}=(3, \sqrt{3},-2)$ ，由 $\overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{A B}=0, \overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{A F}=0$ 得
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3} x_{2}+3 y_{2}=0 \\ 2 y_{2}+\sqrt{3} z_{2}=0\end{array}\right.$
故可取 $\overrightarrow{n_{2}}=(3,-\sqrt{3}, 2)$ ，从而法向量 $\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}$ 的交角的余弦值为 $\therefore \cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right|\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=\frac{1}{8}$
故二面角 $B-A F-D$ 的正弦值 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$