（5 分）设函数 f(x)= array ll 2^ x…——2015 高考数学第 14 题答案解析

【考点】51：函数的零点；5B：分段函数的应用．
【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
（2）分别设 $h(x)=2^{x}-a, g(x)=4(x-a)(x-2 a)$ ，分两种情况讨论，即可求出 a 的范围．

【解答】解：（1）当 $a=1$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x}-1, x<1 \\ 4(x-1)(x-2), x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，
当 $x<1$ 时，$f(x)=2^{x}-1$ 为增函数，$f(x)>-1$ ，

当 $x>1$ 时，$f(x)=4(x-1)(x-2)=4\left(x^{2}-3 x+2\right)=4\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-1$ ，
当 $1\frac{3}{2}$ 时，函数单调递增，
故当 $x=\frac{3}{2}$ 时，$f(x)_{\min }=f\left(\frac{3}{2}\right)=-1$ ，
②设 $h(x)=2^{x}-a, g(x)=4(x-a)(x-2 a)$
若在 $x<1$ 时，$h(x)=$ 与 $x$ 轴有一个交点，
所以 $a>0$ ，并且当 $x=1$ 时，$h(1)=2-a>0$ ，所以 $0而函数 $g(x)=4(x-a)(x-2 a)$ 有一个交点，所以 $2 a \geqslant 1$ ，且 $a<1$ ，
所以 $\frac{1}{2} \leqslant \mathrm{a}<1$ ，
若函数 $h(x)=2^{x}-a$ 在 $x<1$ 时，与 $x$ 轴没有交点，
则函数 $g(x)=4(x-a)(x-2 a)$ 有两个交点，
当 $a \leqslant 0$ 时，$h(x)$ 与 $x$ 轴无交点，$g(x)$ 无交点，所以不满足题意（舍去），
当 $h(1)=2-a \leqslant 0$ 时，即 $a \geqslant 2$ 时，$g(x)$ 的两个交点满足 $x_{1}=a, x_{2}=2 a$ ，都是满足题意的，
综上所述 a 的取值范围是 $\frac{1}{2} \leqslant \mathrm{a}<1$ ，或 $\mathrm{a} \geqslant 2$ ．
【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．