（本小题满分 12 分） 如图，四棱柱 ABCD - A…——2013 高考数学第 18 题答案解析

【答案】：如图建立空间直角坐标系，
由 $A B=A A_{1}=\sqrt{2}$ 可知 $\mathrm{O}(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), \mathrm{B}_{1}(-1,1,1), C(-1,0,0)$
$A_{1}(0,0,1), D_{1}(-1,-1,1)$
（I） $\overrightarrow{A_{1} C}=(-1,0,-1), \overrightarrow{D B}=(0,2,0), \overrightarrow{B B_{1}}=(-1,0,1)$
$\overrightarrow{A_{1} C} \cdot \overrightarrow{D B}=0, \overrightarrow{A_{1} C} \cdot \overrightarrow{B B_{1}}=0$，即 $\overrightarrow{A_{1} C} \perp \overrightarrow{D B}, \overrightarrow{A_{1} C} \perp \overrightarrow{B B_{1}}$，s $D B \cap B B_{1}=B$
所以 $A_{1} C \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$
（II）容易求得平面 $O C B_{1}$ 的一个法向量为 $\bar{n}=(0,1,-1)$，平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的一个法向量为
$\vec{m}=(1,0,1)$，所求夹角余弦值为 $\cos \theta=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=-\frac{1}{2}$．所永夹角的大小为 $60^{\circ}$．
【解析】：本题考查空间直线与平面的位置关系和二面角问题，考查空间想象能力和推理论证能力、对公式 $\cos \theta=\frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=-\frac{1}{2}$ 的熟练准确运用．此类问题的易错点是未能合理的建立空间直角坐标系，找好线面的垂直关系。空间向量的解决对法向量求解不准确，二面角的锐角和钝角判断不准会导致结果错误。

【考点定位】本题考查空间直线现平面的位置关系和二面角问题，考查空间想象能力和推理论证能力．