2013_退役省自主命题 (2013·理)
15．设 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 为平面 $\alpha$ 内的 $n$ 个点，在平面 $\alpha$ 内的所有点中，若点 $P$ 到 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的距离之和最小，则称点 $P$ 为 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ 点的一个＂中位点＂．例如，线段 $A B$ 上的任意点都是端点 $A, B$的中位点．则有下列命题：
①若 $A, B, C$ 三个点共线，$C$ 在线段上，则 $C$ 是 $A, B, C$ 的中位点；
②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点 $A, B, C, D$ 共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。
其中的真命题是 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）
【答案】①④
【解析】对于（1），因为 $A, B, C$ 三个点共线，又 $C$ 在线段 $A B$ 上，始终有 $C A+C B=A B$，这比起 $C$ 点在线段 $A B$ 的延长线或反向延长线上来说它是最小的，由中位点的定义知①为真命题；
对于（2）不正确，可以举一个反例：直角顶点；
对于（3）不正确，四点 $\mathrm{A}, \mathrm{~B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 共线时，线段 BD （ $\mathrm{B}, \mathrm{D}$ 居四点中间）任意一点都是＂中位点＂；对于（4），设梯形对角线的交点为 $0, \because P A+P C \geq A C, P B+P D \geq B D, \therefore$
$P A+P B+P C+P D \geq A C+B D$，当 $P$ 与 $O$ 重合时取等号，（4）是正确的．
综上真命题为①④。
【考点定位】本题以即时定义的新机念为载体，考查多距离几何最值问题，考查对新信息的分析理解、对问题的探究和富有数学特点的思浚，考查创新能力。解题的关键是灵活使用定理：三角形中，两边之和大于第三边。准确理解新定义——中位点的概念，了解多距离几何最值问题的常见入手点：共线、三角形不等式取等的条件、对称等。
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