设 x, y, z R，且 x+y+z=1 ． （1）求…——2019 高考数学第 23 题答案解析

【答案】①$\frac{4}{3}$ ；（2）见详解

【解析】

【分析】
（1）根据条件 $x+y+z=1$ ，和柯西不等式得到 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2} \geq \frac{4}{3}$ ，再讨论 $x, y, z$ 是否可以达到等号成立的条件。（2）恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的 $x, y, z$代入原不等式，便可得到参数的取值范围．

【详解】①
$\left[(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \geq[(x-1)+(y+1)+(z+1)]^{2}=(x+y+z+1)^{2}=4$
故 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2} \geq \frac{4}{3}$ 等号成立当且仅当 $x-1=y+1=z+1$ 而又因
$x+y+z=1$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{3} \\ y=-\frac{1}{3} \text { 时等号成立 } \\ z=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$
所以 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值为 $\frac{4}{3}$ ．
（2）
因为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2} \geq \frac{1}{3}$ ，所以 $\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \geq 1$ ．
根据柯西不等式等号成立条件，当 $x-2=y-1=z-a$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{a+2}{3} \\ y=1-\frac{a+2}{3} \text { 时有 } \\ z=a-\frac{a+2}{3}\end{array}\right.$
$\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right)=(x-2+y-1+z-a)^{2}=(a+2)^{2}$ 成立．

所以 $(a+2)^{2} \geq 1$ 成立，所以有 $a \leqslant-3$ 或 $a \geq-1$ ．
另解：用反证法．
若 $a \leqslant-3$ 或 $a \geq-1$ 不成立，那么 $1<a<3$ 成立，则 $(a+2)^{2}<1$ 而 $\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right)=(x-2+y-1+z-a)^{2}$ 左面等号成立当且仅当 $x-2=y-1=z-a$ ，又因为 $x+y+z=1$ 所以 $x-2=y-1=z-a=-\frac{a+2}{3}$ ．故此时 $\left[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right)=(x-2+y-1+z-a)^{2}=(a+2)^{2}<1$ ，即 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2}<\frac{1}{3}$ ，与原命题矛盾放
【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．