（5分）如图，在同一个平面内，向量 OA , OB , O…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5 分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的模分别为 1， $1, \sqrt{2}, \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\tan \alpha=7, \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+n \overrightarrow{\mathrm{OB}}(\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R})$ ，则 $\mathrm{m}+\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ 3 ．

【分析】如图所示，建立直角坐标系． $\mathrm{A}(1,0)$ ．由 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\tan \alpha=7$ ．可得 $\cos \alpha=\frac{1}{5 \sqrt{2}}, \sin \alpha=\frac{7}{5 \sqrt{2}} . C\left(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ ．可得 $\cos \left(\alpha+45^{\circ}\right)=-\frac{3}{5} . \sin \left(\alpha+45^{\circ}\right)=\frac{4}{5} . B\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ ．利用 $\overrightarrow{O C}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}(m, n \in R)$ ，即可得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．$A(1,0)$ ．
由 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 的夹角为 $\alpha$ ，且 $\tan \alpha=7$ ．
$\therefore \cos \alpha=\frac{1}{5 \sqrt{2}}, \quad \sin \alpha=\frac{7}{5 \sqrt{2}}$ ．
$\therefore C\left(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)$ ．
$\cos \left(\alpha+45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha-\sin \alpha)=-\frac{3}{5}$ ．
$\sin \left(\alpha+45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha+\cos \alpha)=\frac{4}{5}$ ．
$\therefore B\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$ ．
$\because \overrightarrow{\mathrm{OC}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+n \overrightarrow{\mathrm{OB}}(m, n \in R)$,
$\therefore \frac{1}{5}=m-\frac{3}{5} n, ~ \frac{7}{5}=0+\frac{4}{5} n$ ，
解得 $\mathrm{n}=\frac{7}{4}, \mathrm{~m}=\frac{5}{4}$ ．
则 $\mathrm{m}+\mathrm{n}=3$ 。
故答案为： 3 ．

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．