2015 ??高考数学 2015_天津卷 (2015·理) 第 14 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

15．已知函数 $f(\mathrm{x})=\sin ^{2} x-\sin ^{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right), x \in R$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]$ 内的最大值和最小值．

Accepted Answer

（ I ）$\pi$ ；（II）最大值 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，最小值 $-\frac{1}{2}$ 解析过程： （ I ）解：由题意得 $f(x)=\frac{1-\cos 2 x}{2}-\frac{1-\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)}{2}$ $=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \cos 2 x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x\right)-\frac{1}{2} \cos 2 x$ $=\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 x-\frac{1}{4} \cos 2 x=\frac{1}{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 所以，$f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2 \pi}{2}=\pi$ （II）解：因为 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{6}\right]$ 上是减函数， 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上是增函数， $f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{4}, \quad f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}, \quad f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}$. 所以，$f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，最小值为 $-\frac{1}{2}$ ．

2015 高考数学第 14 题答案解析

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