（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-A B C…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：方法（一）：
（1）证：依题设，$M$ 在以 $B D$ 为直径的球面上，则 $B M \perp P D$ ．
因为 $\mathrm{P} \mathrm{A} \perp$ 平面 A B C D ，则 $\mathrm{P} \mathrm{A} \perp \mathrm{A} \mathrm{B}$ ，又 $\mathrm{A} \mathrm{B} \perp \mathrm{A} \mathrm{D}$ ，
所以 $\mathrm{A} \mathrm{B} \perp$ 平面 P A D ，则 $\mathrm{A} \mathrm{B} \perp \mathrm{P} \mathrm{D}$ ，
因此有 $\mathrm{P} \mathrm{D} \perp$ 平面 A B M ，所以平面 $\mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{M} \perp$ 平面 P C D ．
（2）设平面 A BM 与 P C 交于点 N ，
因为 $\mathrm{A} \mathrm{B} / / \mathrm{C} \mathrm{D}$ ，所以 $\mathrm{A} \mathrm{B} / /$ 平面 P C D ，则 $\mathrm{A} \mathrm{B} / / \mathrm{MN} / / \mathrm{C} \mathrm{D}$ ，
由（1）知， $\mathrm{P} \mathrm{D} \perp$ 平面 A B M ，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影，
所以 $\angle P N M$ 就是 $P C$ 与平面 $A B M$ 所成的角，
且 $\angle P N M=\angle P C D$

$$ \tan \angle P N M=\tan \angle P C D=\frac{P D}{D C}=2 \sqrt{2} $$

所求角为 $\arctan 2 \sqrt{2}$
（3）因为 0 是 BD 的中点，则 0 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（1）知， $\mathrm{P} \mathrm{D} \perp$ 平面 A B M 于 M ，

则 $|\mathrm{DM}|$ 就是 D 点到平面 ABM 距离。

因为在 Rt $\triangle \mathrm{PAD}$ 中，$P A=A D=4, P D \perp A M$ ，所以 $M$ 为 $P D$ 中点， $D M=2 \sqrt{2}$ ，则 0 点到平面 ABM 的距离等于 $\sqrt{2}$ 。

**方法二**：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 $A(0,0,0), \quad P(0,0,4), \quad B(2,0,0)$ ，

$C(2,4,0), \quad D(0,4,0), \quad M(0,2,2)$,

设平面 $A B M$ 的一个法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，
由 $\vec{n} \perp \overrightarrow{A B}, \vec{n} \perp \overrightarrow{A M}$ 可得：$\left\{\begin{array}{c}2 x=0 \\ 2 y+2 z=0\end{array}\right.$ ，
令 $z=-1$ ，则 $y=1$ ，即 $\vec{n}=(0,1,-1)$ ．

设所求角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha=\left|\frac{\overrightarrow{P C} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{P C}||\vec{n}|}\right|=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，

所求角的大小为 $\arcsin \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．
③设所求距离为 $h$ ，由 $O(1,2,0), \overrightarrow{A O}=(1,2,0)$ ，得：$h=\left|\frac{\overrightarrow{A O} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}\right|=\sqrt{2}$